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HECS

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2014-08-22 Admin Oui Thomas_94, j'ai effectivement fait une erreur. Merci de m'en avoir fait part. Je vais corriger ça. En ce qui concerne le code, il ne faut pas s'inquiéter, l'interprétateur Latex du site est très élémentaire et ne gère pas tout très bien. Bon courage pour les concours!

2014-08-22 Thomas_94 Navré pour le code qui me donnait une erreur... Soit $n$ un élément de $\mathbb N^*$. Comme $J$ et $I_3$ commutent, on peut appliquer la formule du binôme de Newton : $$A^n=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}(-1)^{n-k}J^k.$$ Or, pour tout $k\geq 1$, on a $J^k=3^{k-1}J$. Donc on a: $$\begin{array}{rrcl} &A^n&=&\frac{1}{2^n}\left[(-1)^nI_3+J\sum_{k=1}^{n}\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix} (-1)^{n-k}3^{k-1}\right]\\ &&=&\frac{1}{2^n}\left[(-1)^nI_3+\frac{1}{3}J\left(\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix} (-1)^{n-k}3^{k}-(-1)^n\right)\right]\\ &&=&\frac{1}{2^n}\left[(-1)^nI_3+\frac{1}{3}J\left((3-1)^n-(-1)^n\right)\right]\\ \emph{i.e.}& A^n& =&\frac{1}{2^n}\left[(-1)^nI_3+\frac{1}{3}J\left(2^n-(-1)^n\right)\right] \end{array}$$ Par suite, la somme des valeurs absolues des éléments d'une ligne de la matrice $A$ est $\sum_{k=1}^{3}|a_{i,k}|=1$. Ainsi, on obtient $\max\limits_{i=1,2,3}\sum_{k=1}^{3}|a_{i,k}|= 1=N(A^n)$.

2014-08-22 Thomas_94 Navré pour le code qui me donnait une erreur... Soit $n$ un élément de $\mathbb N^*$. Comme $J$ et $I_3$ commutent, on peut appliquer la formule du binôme de Newton : $$A^n=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}(-1)^{n-k}J^k.$$ Or, pour tout $k\geq 1$, on a $J^k=3^{k-1}J$. Donc on a: $$\begin{array}{rrcl} &A^n&=&\frac{1}{2^n}\left[(-1)^nI_3+J\sum_{k=1}^{n}\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix} (-1)^{n-k}3^{k-1}\right]\\ &&=&\frac{1}{2^n}\left[(-1)^nI_3+\frac{1}{3}J\left(\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix} (-1)^{n-k}3^{k}-(-1)^n\right)\right]\\ &&=&\frac{1}{2^n}\left[(-1)^nI_3+\frac{1}{3}J\left((3-1)^n-(-1)^n\right)\right]\\ \emph{i.e.}& A^n& =&\frac{1}{2^n}\left[(-1)^nI_3+\frac{1}{3}J\left(2^n-(-1)^n\right)\right] \end{array}$$ Par suite, la somme des valeurs absolues des éléments d'une ligne de la matrice $A$ est $\sum_{k=1}^{3}|a_{i,k}|=1$. Ainsi, on obtient $\max\limits_{i=1,2,3}\sum_{k=1}^{3}|a_{i,k}|= 1=N(A^n)$.

2014-08-22 Thomas_94 Bonjour, Tout d'abord, merci pour votre travail, vraiment très utile pour les étudiants que nous sommes ! C'est très généreux de votre part :) Pour la question c) Exprimer pour tout $n$ de $\mathbb N^*$, $A^n$ en fonction de $I_3$, $J$ et $n$. En déduire pour tout $n$ de $\mathbb N^*$, la valeur de $N(A^n)$, vous faites un calcul de $A^n$ qui me semble erroné à la deuxième ligne. C'est le retrait du $-(-1)^n$ pour $k=0$ qui me gêne, je trouve pour ma part $-\frac{1}{3}(-1)^n$ car on a un indice $k-1$ pour 3, ce qui nous donne $3^{-1}$ justement. Je vous joins le calcul que je fais: Soit $n$ un élément de $\mathbb N^*$. Comme $J$ et $I_3$ commutent, on peut appliquer la formule du binôme de Newton : $$A^n=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}(-1)^{n-k}J^k.$$ Or, pour tout $k\geq 1$, on a $J^k=3^{k-1}J$. Donc on a: $$\begin{array}{rrcl} &A^n&=&\dfrac{1}{2^n}\left[(-1)^nI_3+J\dsum{k=1}{n}\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix} (-1)^{n-k}3^{k-1}\right]\\ &&=&\dfrac{1}{2^n}\left[(-1)^nI_3+\dfrac{1}{3}J\left(\dsum{k=0}{n}\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix} (-1)^{n-k}3^{k}-(-1)^n\right)\right]\\ &&=&\dfrac{1}{2^n}\left[(-1)^nI_3+\dfrac{1}{3}J\left((3-1)^n-(-1)^n\right)\right]\\ \emph{i.e.}&\red A^n&\red =&\red\dfrac{1}{2^n}\left[(-1)^nI_3+\dfrac{1}{3}J\left(2^n-(-1)^n\right)\right] \end{array}$$ Par suite, la somme des valeurs absolues des éléments d'une ligne de la matrice $A$ est $\dsum{k=1}{3}|a_{i,k}|=1$. Ainsi, on obtient $\max\limits_{i=1,2,3}\dsum{k=1}{3}|a_{i,k}|=1=N(A^n)$. Qu'en pensez-vous ? Il m'a semblé tout d'abord curieux que le résultat final ne dépende pas de $n$, mais après tout, il y a tellement de pièges dans les sujets HEC... Merci encore ! Thomas