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PROBLEME


Soit $x$ un réel, on note $[x]$ la partie entière de $x$ c'est-à-dire l'unique entier $N$ tel que : $N\leq x<\! N+1$.

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé $(\Omega,\cal A,P)$. On définit $X_d$ sur $(\Omega,\cal A,P)$ par : $$\forall \omega\in\Omega,\ X_d(\omega)=[X(\omega)].$$

On admet que $X_d$ est une variable aléatoire sur $(\Omega,\cal A,P)$, on l'appelle la "discrétisée de $X$".

Le problème consiste :

Les parties I,II et III sont largement indépendantes.


PARTIE I : Calculs de discrétisées


1. En PASCAL,

On rappelle que si $Z$ suit la loi uniforme sur $[0,1]$ alors, pour $a\in\mathbb R_+$, $aZ$ suit la loi uniforme sur $[0,a]$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0,a]$ ($a\in R_+$) et $X_d$ sa discrétisée.

Ecrire une fonction PASCAL qui à un réel $a$ (positif) fournit par l'utilisateur renvoie une réalisation de $X_d$.

2. SOit $X$ une variable aléatoire possédant une densité $f$. Montrer que : $$\forall k\in\mathbb Z,\ P(X_d=k)=\int_{k}^{k+1}f(x)dx.$$

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$$P(X_d=k)=P(k\leq X<\!k+1)=\int_k^{k+1}f(t)dt.$$

3. Soit $N$ un entier naturel non nul et $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle $[0,N]$. Déterminer la loi de $X_d$ (on précisera les valeurs prises par $X_d$).

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On a que $X_d(\Omega)=\{0,\dots,N\}$, que $$\forall k\in\{0,\dots,N-1\},\ P(X_d=k)=\int_k^{k+1}\frac{1}{N}dt=\frac{1}{N}.$$ $$P(X_d=N)=0$$ donc $X_d$ suit une loi discrète uniforme sur $\{0,\dots,N-1\}$.

4. Etablir que l'on définit bien une variable aléatoire discrète $Y$ en posant : $$\left\lbrace \begin{align} &Y(\Omega)=\{1,2,\dots,9\}\text{ et }\forall k\in Y(\Omega)\\ &P(Y=k)=\frac{1}{\ln(10)}\ln\left(\frac{k+1}{k}\right) \end{align} \right.$$ Proposer une densité $f$ telle que si une variable aléatoire $X$ possède $f$ pour densité alors sa discrétisée $X_d$ suit la loi de $Y$.

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$$\begin{align}\sum_{k=1}^9P(Y=k)&=\frac{1}{\ln (10)}\sum_{k=1}^9\ln(k+1)-\ln(k)\\ &=\frac{1}{\ln (10)}(\ln(10)-\ln(1))\text{ (somme téléscopique)}\\ &=1 \end{align}$$ donc $Y$ est bien une variable aléatoire discrète. De plus $$P(Y=k)=\frac{1}{\ln(10)}\int_k^{k+1}\frac{1}{t}dt$$ donc une densité possible $f$ est $$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{t\ln(10)}\text{ si }t\in[1,10]\\ 0\text{ sinon.} \end{cases}$$

5. Soient $X$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda\in\mathbb R_+^*$ et $n$ un entier naturel non nul. On pose $Y_n=\frac{[nX]}{n}$.

(a) Justifier que la variable $nX$ possède une densité $f_n$ que l'on précisera.

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On cite et on applique un résultat de cours et on trouve $$f_n(x)=\begin{cases} \frac{\lambda}{n}e^{-\lambda x/n}\text{ si }x\geq 0\\ 0\text{ si }x<\! 0. \end{cases}$$

(b) Donner la loi de la variable $[nX]$. Vérifier que $[nX]+1$ suit une loi connue dont on donnera le nom et le paramètre.

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On a $[nX](\Omega)=\mathbb N$ et $\forall k\in\mathbb N$ $$\begin{align} P([nX]=k)&=P(k\leq nX<\! k+1)\\ &=P\left(\frac{k}{n}\leq X<\! \frac{k+1}{n}\right)\\ &=\int_{k/n}^{(k+1)/n}\lambda e^{-\lambda t}dt=e^{-\lambda k/n}-e^{-\lambda(k+1)/n}. \end{align}$$ Il suit que $([nX]+1)(\Omega)=\mathbb N^*$ et que $\forall k\in\mathbb N^*$ $$P([nX]+1=k)=(e^{-\lambda k/n})^k(e^{\lambda/n}-1)$$ et donc $[nX]+1$ suit une loi géométrique de paramètre $e^{-\lambda/n}$.

(c) Soit $x\in\mathbb R_+$, prouver que : $$P(Y_n\leq x)=1-\exp\left(-\frac{\lambda([nx]+1)}{n}\right).$$

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$$\begin{align} P(Y_n\leq x)&=P([nX]\leq nx)\\ &=P(nX<\![nx]+1)\\ &=P(X<\!\frac{[nX]+1}{n})\\ &=\int_0^{([nx]+1)/n}\lambda e^{-\lambda t}dt\\ &=1-\exp\left(-\frac{\lambda([nx]+1)}{n}\right). \end{align}$$

(d) Donner un encadrement simple de $\frac{[nx]}{n}$ puis montrer que la suite $(Y_n)_{n\geq 0}$ converge en loi vers une variable aléatoire $Y$ dont on précisera la loi.

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On a $$nx\leq [nx]\leq nx+1\Longrightarrow x\leq\frac{[nx]}{n}\leq x+\frac{1}{n}$$ donc $\lim_{n\to+\infty}\frac{[nx]}{n}=x$. En utilisant c), on a donc que $$\forall x\in\mathbb R^+,\ \lim_{n\to+\infty}P(Y_n\leq x)=1-e^{-\lambda x}.$$ $Y_n$ converge donc en loi vers une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.


PARTIE II : Discrétisées et lois "polynomiales".


On note $\mathbb R_n[X]$ l'ensemble des fonctions polynômes à coefficients réels de degrés au plus $n$ et on pose : $$\forall k\in\{0,\dots,n\},\ e_k:x\in\mathbb R\mapsto x^k.$$

Si $Q$ appartient à $\mathbb R_n[X]$, on pose $u(Q)$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par : $$\forall x\in\mathbb R,\ u(Q)(x)=\int_{x}^{x+1}Q(t)dt.$$

1. Pour tout entier $k\in\{0,\dots,n\}$, calculer $u(e_k)$ puis exprimer $u(e_k)$ en fonction de $e_0,\dots,e_n$.

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On trouve $$u(e_k)(x)=\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^k\begin{pmatrix}k+1\\ j\end{pmatrix}x^j$$ soit encore $$u(e_k)=\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^k\begin{pmatrix}k+1\\ j\end{pmatrix}e_j$$

2. Etablir la linéarité de $u$ et justifier que si $Q\in\mathbb R_n[X]$ alors $u(Q)\in\mathbb R_n[X]$.

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La linéarité de $u$ résulte de la linéarité des intégrales. Pour le caractère endo, observer que d'après 1. $\forall k\in\{0,\dots,n\},\ u(e_k)\in\mathbb R_n[X]$ et utiliser le fait que tous polynôme de $\mathbb R_n[X]$ se décompose sur la base $(e_0,\dots,e_n)$.

3. Etablir que la famille $(u(e_k))_{0\leq k\leq n}$ est une base de $\mathbb R_n[X]$.

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D'après 1. on observe que $deg(u(e_k))=k$ donc la famille $(u(e_0),\dots,u(e_n))$ est échelonnée donc libre. D'autre part cette famille est constituée de $n+1$ vecteur et $\mathbb R_n[X]$ est de dimension $n$ donc $(u(e_0),\dots,u(e_n))$ est une base de $\mathbb R_n[X]$.

4. Justifier que pour tout polynôme $R\in\mathbb R_n[X]$, il existe un unique polynôme $Q_R\in\mathbb R_n[X]$ tel que : $$\forall x\in\mathbb R,R(x)=\int_{x}^{x+1}Q_R(t)dt.$$

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Le plus rapide pour répondre à la question consiste à rappeller que comme $u$ transforme une base en une base (question 4.) alors $u$ est une bijection et le résultat suit facilement.

5. En considérant $n=1$, expliciter $Q_R$ lorsque : $\forall x\in \mathbb R,\ R(x)=\frac{x}{6}$.

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En charchant $Q_R$ sous la forme $Q_R=aX+b$, en posant l'équation $u(Q_R)=X/6$, on finit par trouver $Q_R=\frac{1}{6}X-\frac{1}{12}$.

6.Soient $N$ un entier naturel et $X$ une variable dont $f$ est une densité.

(a) On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ et un polynôme $Q\in\mathbb R_n[X]$ tels que : $$\forall x\in\mathbb R,\left\lbrace \begin{align} &f(x)=Q(x)\text{ si }x\in[0,N+1[;\\ &f(x)=0\text{ sinon} \end{align} \right.$$ Etablir l'existence d'un polynôme $R\in\mathbb R[X]$ tel que $$\left\lbrace \begin{align} &X_d(\Omega)=\{0,\dots,N\},\\ &\forall k\in X_d(\Omega),\ P(X_d=k)=R(k) \end{align} \right.$$

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On a déjà que $X(\Omega)=[0,N+1[$ donc $X_d(\Omega)=\{0,\dots,N\}$. D'autre part d'après la partie I.2. on a que $\forall k\in\{0,\dots,N\},\ P(X_d=k)=\int_k^{k+1}Q(t)dt$. Enfin d'après partie II.2., $u(Q\in\mathbb R_n[X])$ donc $\exists R\in\mathbb R_n[X],\ P(X_r)=R(k)$.

(b)On considère la variable aléatoire discrète $Y$ définie par : $$\left\lbrace \begin{align} &Y(\Omega)=\{0,1,2,3\} &\forall k\in Y(\Omega),\ P(Y=k)=\frac{k}{6} \end{align} \right.$$ Montrer qu'il n'existe aucun polynôme $Q\in\mathbb R[X]$ tel que $$\forall x\in[0,4[,\ f(x)=Q(x)$$ et tel que $Y$ soit la discrétisée de $X$. Indication : procéder par l'absurde et constater que l'une des propriétés des densités n'est pas satisfaite.

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Si un tel $Q$ existe d'après II.4. et II.5. $Q$ est unique et vaut $\frac{1}{6}X-\frac{1}{12}$. Mais ce dernier polynôme prend des valeurs négatives sur $[0,4[$, ce ne peut donc être une densité.


PARTIE III : Variables dénombrables et discrétisées.


On considère une variable aléatoire $Y$ définie sur $(\Omega,\cal A,P)$ ainsi qu'une fonction $g:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ qui soit de calsse $C^2$ sur $\mathbb R_+$ et telles que : $$Y(\Omega)=\mathbb N\text{ et }\forall k\in\mathbb N,\ P(Y=k)=g(k).$$ En particulier, la série $\sum_{k\geq 0}g(k)$ converge et $$\sum_{k=0}^{+\infty}g(k)=1.$$ On suppose en outre que $g$ est décroissante et qu'il existe un réel $C\geq 0$ tel que : $$\forall x\in\mathbb R_+,\ |g'(x)|\leq\frac{C}{(1+x)^2}\text{ et }|g''(x)|\leq\frac{C}{(1+x)^2}.$$ Pour tout réel $x$, on pose : $$\left\lbrace \begin{align} &f(x)=-\sum_{k=0}^{+\infty}g'(x+k)\text{ si }x\geq 0\\ &f(x)=0\text{ si }x<\! 0 \end{align} \right.$$

Soit $x\in\mathbb R_+$. Prouver la convergence de la série $\sum_{k\geq 0}g'(x+k)$. Quel est le signe de $f$?

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On observe que $$\forall x\in\mathbb R^+,\forall k\in\mathbb N,\ |g'(x+k)|\leq\frac{C}{(1+x+k)^2}\leq\frac{C}{(1+k)^2}$$ ce qui permet de comparer avec une série de Riemann convergente et de prouver la convergence de la série. De plus $g$ est décroissante donc $g'\leq 0$ donc $f$ est positive.

2.(a) Etablir que : $\forall (x,a)\in(\mathbb R_+)^2,\ \forall k\in\mathbb N$, $$|g'(x+k)-g'(a+k)|\leq\frac{C|x-a|}{(k+1)^2}.$$

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On applique le Théorème des accroissements finis à $g$, il existe alors $c$ compris entre $x+k$ et $a+k$ tel que $$|g'(x+k)-g'(a+k)|=|g''(c)||x-a|\leq\frac{C}{(1+c)^2}|x-a|$$ or $c$ étant compris entre $x+k$ et $a+k$, on a $c\geq k$ et l'inégalité suit.

(b) Prouver l'existence d'un réel $D\geq 0$ tel que : $$\forall (x,a)\in(\mathbb R_+)^2,\ |f(x)-f(a)|\leq D|x-a|.$$ Justifier la continuité de $f$ en tout réel $a\in\mathbb R_+$.

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On applique (a) de sorte que $$\begin{align} |f(x)-f(a)|&=\left|\sum_{k\geq 0}g'(x+k)-g'(a+k)\right|\\ &\leq\sum_{k\geq 0}|g'(x+k)-g'(a+k)|\\ &\leq\sum_{k\geq 0}\frac{C}{(1+k)^2}|x-a| \end{align}$$ Il suffit alors que poser $D=\sum_{k\geq 0}\frac{C}{(1+k)^2}$ qui est une série convergente. D'où l'inégalité. Pour la continuité, l'inégalité nous montre que si $x$ tend vers $a$, $f(x)$ tend vers $f(a)$.

3. Soit $t$ un réel positif, pour tout entier $N$, on pose : $$S_N(t)=-\sum_{k=0}^Ng'(t+k)\text{ et }R_N(t)=-\sum_{k=N+1}^{+\infty}g'(t+k).$$

(a) Démontrer que : $\forall k\geq 1,\forall t\in\mathbb R_+,$ $$\frac{1}{(t+k+1)^2}\leq\frac{1}{t+k}-\frac{1}{t+k+1}$$ puis que : $$\forall N\geq 0,\ \forall t\in\mathbb R_+,\ |R_N(t)|\leq\frac{C}{N+1}.$$

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On a $$\frac{1}{t+k}-\frac{1}{t+k+1}=\frac{1}{(t+k)(t+k+1)}\geq\frac{1}{(t+k+1)^2}$$ d'autre part $$\begin{align} |R_N(t)|\leq\sum_{k\geq N+1}|g'(t+k)|\\ &\leq\sum_{k\geq N+1}\frac{C}{(1+t+k)^2}\\ &\leq\sum_{k\geq N+1}\frac{1}{t+k}-\frac{1}{t+k+1}\text{ (par l'inégalité précédente)}\\ &\leq\frac{C}{(t+N+1)}\text{ (par téléscopage)}\\ &\leq\frac{C}{N+1}. \end{align} $$

(b) Prouver que : $$\forall N\in\mathbb N,\ \int_0^1f(t)dt=g(0)-g(N+1)+\int_0^1R_N(t)dt.$$

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$$\begin{align} \int_0^1f(t)dt&=\int_0^1-\sum_{k=0}^Ng'(t+k)+R_N(t)dt\\ &=-\sum_{k=0}^Ng(k+1)-g(k)+\int_0^1R_N(t)dt\\ &=-g(N+1)+g(0)+\int_0^1R_N(t)dt\text{ (par téléscopage)} \end{align}$$

(c) Justifier que : $\lim_{k\to+\infty}g(k)=0$ et que : $$\int_0^1f(t)dt=g(0).$$

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$\sum g(k)$ converge donc $\lim_{k\to+\infty}g(k)=0$. On déduit de (b) que $\int_0^1f(t)dt=g(0)+\lim_{N\to+\infty}\int_0^1R_N(t)dt$. Or $$\left|\int_0^1R_N(t)dt\right|\leq\int_0^1|R_N(t)|dt\leq\int_0^1\frac{C}{N+1}dt=\frac{C}{N+1}$$ donc $\lim_{N\to+\infty}\int_0^1R_N(t)dt=0$ et l'égalité demandée suit.

4.(a) Vérifier que : $$\forall t\in\mathbb R_+,\ f(t+1)-f(t)=g'(t)$$ puis que : $$\forall x\in\mathbb R_+,\ g(x)=\int_x^{x+1}f(t)dt.$$

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La première égalité s'obtient par changement d'indice dans une somme.

Pour la seconde $$\begin{align} g(x)-g(0)&=\int_0^xg'(t)dt\\ &=\int_0^xf(t+1)-f(t)dt\text{ (par l'inégalité précédente)}\\ &=\int_1^{x+1}f(t)dt-\int_0^xf(t)dt\text{ (par changement de variable)}\\ &=\int_x^{x+1}f(t)dt-\int_0^1f(t)dt\text{ (par Chasles)}. \end{align}$$ puis on utilise 3.(b) qui montre que $g(0)=\int_0^1f(t)dt$.

(b)Pour tout entier $N\geq 0$, on pose $S_N=\int_0^Nf(t)dt$. Etablir que : $$\forall N\geq 1,\ S_N=\sum_{k=0}^{N-1}g(k)$$ puis que : $$\forall x\in\mathbb R_+,\ S_{[x]}\leq\int_0^xf(t)dt\leq S_{[x]+1}.$$ En déduire la convergence de l'intégrale $\int_0^{+\infty}f(t)dt$ et préciser sa valeur.

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L'égalité se montre à l'aide de Chasles. Pour l'inégalité, par positivité de $f$ (question 1.), on a $$S_{[x]}\leq\int_0^xf(t)dt\leq\int_0^{[x]+1}f(t)dt=S_{[x]+1}.$$ De plus $\sum g(k)=1$ donc $S_{[x]}$ et $S_{[X]+1}$ convergent vers 1 et donc par encadrement $\int_0^{+\infty}f(t)dt=1$.

(c) Démontrer que $f$ peut-être considérée comme la densité d'une variable aléatoire $X$ et que sa discrétisée $X_d$ suit la même loi que $Y$.

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$f\geq 0$, $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=\int_0^{+\infty}f(t)dt=1$ et $f$ est continue sur $\mathbb R^*$ donc $f$ est une densité de probabilité. D'autre part $$P(X_d=k)=\int_k^{k+1}f(t)dt=g(k)$$ donc $X_d$ a la même loi que $Y$.

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