Cours et vidéos

Cours en ligne Vidéos classées

Concours corrigés

HECS
HECE

Programme de concours

HECS

Chaîne Youtube


Pour me soutenir



Autour du site

Auteur du site.
Cours particuliers.


Partie III. Contrôle de systèmes linéaires


On conserve dans cette partie les définitions et notations de la question 10. Dans les questions 12, 13 et 14, on note $p$ un entier supérieur ou égal à 2. Les questions 13 et 14 sont indépendantes des questions 11 et 12.

On note ${\cal C}^0$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs dans $\mathbb R$.

11. Exemple : p=1. Soit $(a,b)$ un couple de réels.

a) Soit $u\in{\cal C}^0$. On cherche une fonction $f$ définie et dérivéble sur $[0,1]$ de dérivée $f'$, vérifiant $f(0)=0$ et telle que pour tout $t\in[0,1],\ f'(t)=af(t)+bu(t)$. Calculer la dérivée de la fonction $h:t\mapsto h(t)=f(t)e^{-at}$, et en déduire que $f$ est donnée par : $$\forall t\in[0,1],\ f(t)=b\int_0^tu(x)e^{a(t-x)}dx.\ (\star\star)$$

Afficher

En utilisant la relation donnée on a que $$h'(t)=bu(t)$$ de sorte que $$h(t)-h(0)=\int_0^tbu(x)dx.$$ Puis en utilisant le fait que $f(0)=0$ et en remplaçant $h$ par sa définition, on trouve la relation recherchée.

b) On dit que le couple $(a,b)$ est contrôlable, si pour tout réel $y$ (appelé cible), il existe une fonction $u\in{\cal C}^0$ (appelée contrôle) telle que toute fonction $f$ définie et dérivable sur $[0,1]$ vérifiant $f(0)=0$ et $f'(t)=af(t)+bu(t)$ pour tout $t\in[0,1]$, atteint sa cible en 1, c'est à dire vérifie $f(1)=y$. Donner l'expression de la fonction $f$ définie par $(\star\star)$ lorsque la fonction $u$ est constante sur $[0,1]$. En déduire que le couple $(a,b)$ est contrôlable si et seulement si $b\neq 0$.

Afficher

Posons $u=c$. Si $a=0$, on trouve $f(t)=bct$. Si $a\neq 0$ on trouve $f(t)=-\frac{bc}{a}\left(1-e^{at}\right)$.

Supposons maintenant $b\neq 0$. Si $a=0$, on pose $u=c=\frac{y}{b}$ et on prouve ainsi que $(a,b)$ est contrôlable. Si $a\neq 0$, on pose $u=-\frac{a}{b}(1-e^a)y$ et on prouve ainsi que $(a,b)$ est contrôlable.

Pour finir, si $b=0$, on doit avoir $f'(t)=af(t)$ et la encore on fait deux cas. Soit $a=0$ alors $f$ est constante, mais comme $f(0)=0$, $f$ est la fonction nulle. Par conséquent pour tout $y$ non nul, aucun choix de $u$ ne donnera $f(1)=y$. $(a,b)$ n'est donc pas contrôlable. Si $a\neq 0$, comme $f'=af$ et $f(0)=0$, là encore $f$ doit être la fonction nulle et là encore $(a,b)$ n'est pas contrôlable.

12. Pour tout $x\in[0,1]$, on pose : $W(x)=T_A(1-x)B\in{\cal M}_{p,1}(\mathbb R)$ et $W(x)=(W_k(x))_{1\leq k\leq p}$, où pour tout $k\in[\![1,p]\!]$, $W_k(x)$ est le coefficient de la k-ième ligne de $W(x)$.

On admet que pour tout $k\in[\![1,p]\!]$, la fonction $x\mapsto W_k(x)$ appartient à ${\cal C}^0$ la matrice colonne $\int_0^1u(x)W(x)dx$ de ${\cal M}_{p,1}(\mathbb R)$ par : $$\int_0^1u(x)W(x)dx=\left(\int_0^1u(x)W_k(x)dx\right)_{1\leq k\leq p}$$ Par analogie à la question 11.b, on dit que le couple $(A,B)$ est contrôlable, si pour toutes matrice colonne $Y\in{\cal M}_{p,1}(\mathbb R)$ (cible), il existe une fonction $u\in{\cal C}^0$ (contrôle) vérifiant l'égalité : $\int_0^1u(x)W(x)dx=Y$.

a) Soit $u\in{\cal C}^0$. Justifier que pour tout $x\in[0,1]$, $u(x)W(x)$ appartient à ${\cal G}_p$. En déduire que $\int_0^1u(x)W(x)dx$ appartient à ${\cal G}_p$.

Afficher

$u(x)W(x)$ appartient à ${\cal G}_p$ est une conséquence immédiate de 10.d).

Pour montrer que $\int_0^1u(x)W(x)dx$ appartient à ${\cal G}_p$, on utilise le théorème de Riemann qui nous permet d'affirmer que $$\int_0^1u(x)W(x)dx\lim_{n\to+\infty}n\sum_{k=0}^{n-1}u\left(\frac{1}{n}\right)W\left(\frac{1}{n}\right).$$ ${\cal G}_p$ étant un espace vectoriel la somme ci dessus appartient à ${\cal G}_p$, d'autre part d'après 10.c), la limite de la somme ci dessus appartient également à ${\cal G}_p$. D'où le résultat.

b) Soit $Z$ un élément non nul de ${\cal M}_{p,1}(\mathbb R)$ tel que pour toute fonction $u\in {\cal C}^0$, on ait : $\int_0^1u(x)^t\!ZW(x)dx=0$. Montrer que pour tout $x\in[0,1]$, on a : $^t\!ZW(x)=0$.

Afficher

Il suffit de poser $u(x)=\!^tZW(x)$, de justifier la continuité d'un $u$ puis d'exploiter le théorème classique qui affirme que si $f$ est continue, positive sur $[a,b]$ et que $\int_a^bf(t)dt=0$ alors $f$ est nulle sur $[a,b]$.

c) En déduire, à l'aide de la relation $(\star)$ (question 4.b), que pour tout $k\in[\![1,p]\!]$, on a : $^t\!ZA^{k-1}B=0$.

Afficher

On observe déjà que $$0=\!^tZW(1)=\!^tZB$$ donc la relation cherchée est valide pour $k=1$.

D'autre part la relation $\!^tZW(x)=0$ s'écrit aussi $\!^tZT_A(1-x)B$ de sorte que pour $r>1$, on peut poser $1-x=\frac{1}{r}$ et donc $\!^tZT_A\left(\frac{1}{r}\right)B$. En injectant cela dans la relation ($\star$), on en déduit que $$\lim_{r\to+\infty}-r^{n+1}\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!r^k}\!^tZA^kB=\frac{1}{(n+1)!}\!^tZA^{n+1}B.$$ Si on pose $n=0$, en utilisant le fait que $\!^tZB=0$, la relation ci dessus nous donne que $$0=\!^tZAB$$ Nous avons donc prouvé que $0=\!^tZB=\!^tZAB$. Si on pose maintenant $n=1$, toujours avec la même relation et ce qu'on vient de démontrer on trouve $$0=\frac{1}{2}\!^tZA^2B.$$ Et on continue ainsi de suite par récurrence forte!

d) Déduire des résultats précédents que le couple $(A,B)$ est contrôlable si et seulement si la matrice de Kalman $K_p$ est inversible.

Afficher

Si $(A,B)$ est contrôlable $\int_0^1u(x)W(x)dx$ peut atteindre toutes les valeurs possibles de ${\cal M}_{p,1}$. Mais d'après 12.a) $\int_0^1u(x)W(x)dx$ est dans ${\cal G}_p\subset{\cal M}_{p,1}$, par conséquent on doit avoir ${\cal G}_p={\cal M}_{p,1}$. Or $K_p$ est une matrice carré et $Im(K_p)={\cal G}_p={\cal M}_{p,1}$ ce qui implique que $K_p$ est inversible.

Supposons maintenant que $(A,B)$ n'est pas contrôlable. On montre facilement que l'ensemble des cibles est un espace vectoriel (le prouver!), donc si $(A,B)$ n'est pas contrôlable, cet espace est différent de ${\cal M}_{p,1}$ et admet un orthogonal non nul. Prenons alors $Z$ non nul dans cet orthogonal, on a alors que pour toute fonction continue $u$, $\int_0^1u(x)\!^tZW(x)dx=0$. D'après c) ceci implique que $\forall k\in[\![1,p]\!], \!^tZA^{k-1}B=0$ c'est à dire que $Z$ est orthogonal à ${\cal G}_p$ c'est à dire orthogonal à $Im(K_p)$. Il suit que $Im(K_p)\neq {\cal M}_{p,1}$ et donc $K_p$ n'est pas bijective.

dans les questions 13 et 14, on suppose que $K_p$ est inversible et on cherche à optimiser le contrôle $s$ d'un sustème linéaire discret en minimisant une fonction de coût quadratique $J$.

13. Soit $q$ un entier vérifiant $q\geq p$. Pour tout $q$-uplet $s=(s_1,\dots,s_q)$ de $\mathbb R^q$, appelé contrôle discret, on définit la suite finie $(X_{s,k})_{0\leq k\leq q}$ de ${\cal M}_{p,1}(\mathbb R)$ par : $$\begin{cases} X_{s,0}=0\\ \forall k\in[\![1,q]\!],\ X_{s,k}=AX_{s,k-1}+s_kB \end{cases}$$

a) Calculer $X_{s,q}$ et trouver une matrice colonne $C_s\in{\cal M}_{p,1}(\mathbb R)$ telle que : $X_{s,q}=K_qC_s$.

Afficher

En itérant terme à terme, on trouve $$X_{s,k}=\sum_{i=1}^ks_{k+1-i}A^{i-1}B,$$ ce qui se traduit matriciellement par $$X_{s,q}=K_q\begin{pmatrix}s_q\\ s_{q-1}\\ \vdots\\ s_1\end{pmatrix},$$ autrement dit $C_s=\begin{pmatrix}s_q\\ s_{q-1}\\ \vdots\\ s_1\end{pmatrix}$.

b) Etablir pour toute matrice colonne $Y\in{\cal M}_{p,1}(\mathbb R)$ (cible) l'existence d'un contrôle discret $s$ tel que $X_{s,q}=Y$.

Afficher

Par hypothèse $K_p$ est inversible, par conséquent puisque $q\geq p$, les colones de $K_q$ contiennent les colonnes de $K_p$ et donc $Im(K_p)=Im(K_q)={\cal M_{p,1}}$ (se rappeler que Im est engendré par les colonnes!). Par conséquent pour tout $Y\in {\cal M_{p,1}}$, il existe $C_s\in {\cal M_{p,1}}$ tel que $Y=K_qC_s$ c'est à dire $Y=X_{s,q}$.

14. On cherche ici à déterminer un contrôle discret optimal permettant d'atteindre une cible $Y\in{\cal M}_{p,1}(\mathbb R)$. Soit $J$ la fonction de $\mathbb R^q$ dans $\mathbb R$ définie par : $J(s)=\sum_{k=1}^qs_k^2$.

a) On admet sans démonstrationque la matrice $K_q^t\!K_q$ est inversible. Montrer que le problème de minimisation de $J$ sous la contrainte $X_{s,q}=Y$ admet un unique point critique $s^*$ donné par : $C_{s^*}=^t\!K_q(K_q^t\!K_q)^{-1}Y$.

Afficher

On remarque que minimiser la fonction $J$ est équivalent à minimiser la fonction $H(s_1,\dots,s_q)=J(s_q,\dots,s_1)$, par conséquent une condition de minimisation sur $\begin{pmatrix}s_1\\ \vdots\\ s_q\end{pmatrix}$ conduit à une condition sur $C_s$. On a que $$\nabla J(s)=2\begin{pmatrix}s_1\\ \vdots\\ s_q\end{pmatrix}.$$ Comme $\nabla J(s^*)$ doit appartenir à l'orthogonal de l'espace engendré par les contraintes linéaires, on trouve que $$\nabla J(s^*)\in Im(\!^tK_q),$$ soit encore avec la remarque précédente $$C_{s^*}\in Im(\!^tK_q).$$ Il existe alors $X\in{\cal M}_{p,1}$ tel que $C_s=\!^tK_qX$. Il suit que $K_qC_{s^*}=K_q\!^tK_qX$, mais comme $K_q\!^tK_q$ est inversible on a aussi que $$X=(K_q\!^tK_q)^{-1}K_qC_{s^*}.$$ On en déduit que $$C_{s^*}=\!^tK_q(K_q\!^tK_q)^{-1}K_qC_{s^*}.$$ Enfin puisque $Y=K_qC_s$, on en déduit que $$C_{s^*}=\!^tK_q(K_q\!^tK_q)^{-1}Y,$$ qui est bien l'unique expression vérifiée par le point critique.

b) Montrer que $s^*$ réalise un minimum global de $J$ sous la contrainte $X_{s,q}=Y$.

Afficher

Considérons un point $s$ vérifiant la contrainte $K_qC_s=Y$ et posons $H=C_s-C_{s^*}$. On a ceci $$\begin{cases}K_qC_s=Y\\ K_qC_{s^*}=Y\end{cases}\Longrightarrow K_qH=0.$$ D'autre part en observant que $J(s)=\!^tC_sC_s=\langle C_s,C_s\rangle$, on a que $$\begin{align} J(s)-J(s^*)&=\langle C_s,C_s\rangle-\langle C_{s^*},C_{s^*}\rangle \\ &=\langle C_{s^*}+H,C_{s^*}+H\rangle-\langle C_{s^*},C_{s^*}\rangle\\ &=2\langle C_{s^*},H\rangle+\Vert H\Vert^2. \end{align} $$ Mais comme $C_{s^*}=\!^tK_q(K_q\!^tK_q)^{-1}Y$ et que $K_qH=0$, on en déduit que $\langle H,C_{s^*}\rangle=\!^tY\!^t(K_q\!^tK_q)^{-1}K_qH=0$. Donc $$J(s)-J(s^*)=\Vert H\Vert^2\geq 0,$$ et $s^*$ réalise bien un minimum global sous la contrainte $X_{s,q}=Y$.

Pour afficher le fil des commentaires : Commentaires.


Pour poster un commentaire ou obtenir de l'aide : c'est ici!




Formulaire

L'insertion de formules suit la syntaxe LATEX. Toute formule doit être encadrée par des dollars : $\bf{\$formule\$}$. Par exemple $\bf{\$ u\_n \$}$ sera interprétée comme une formule et donnera $\bf{u_n}$. Voici quelques exemples pour ceux qui ne sont pas habitués :

Contacter l'auteur du site : frederic.millet @ math-sup.fr