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Cours particuliers.

Dans ce chapitre nous allons étudier les manipulations de sommes exigibles en prépa ECS. Vous pouvez visionnez les vidéo si vous avez quelques lacunes, ou bien si vous vous sentez d'attaque, travailler directement les exercices proposés issus presque tous des concours.

Plan


Sommes simples à connaître.


Dans cette vidéo, nous alllons examiner le symbole $\Sigma$ puis nous allons faire le tour des sommes à connaître impérativement.

Synopsis :

Niveau d'accessibilité : Terminale.


Exercices


Exercice (autour du binôme de Newton) :

1) Calculer $$\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix},\ \sum_{k=0}^n(-1)^k\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}$$

Astuce : Considérer $(1+x)^n$. Attention, cette astuce n'est généralement pas donnée. Retenez-là!!

2) Calculer $$\sum_{0\leq k\leq n,\ k\text{ pair }}\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix} \text{ et } \sum_{0\leq k\leq n,\ k\text{ impair }}\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}$$.


Exercice (ECRICOME 2012, Problème partie III.4.) : Montrer que : $$\forall x\in\mathbb R,\forall n\in\mathbb N,\ x^n=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}(x-1)^k.$$


Manipuler les sommes simples.


Dans cette vidéo, nous alllons examiner les deux manipulations fondamentales de $\Sigma$

Synopsis :

Niveau d'accessibilité : Terminale.


Exercices


Exercice (HEC 2012 math II) Soit $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ une famille de réels non tous égaux. On note $\overline{x}$ et $s_x^2$ la moyenne empirique et la variance empirique de $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ définies par : $$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\text{ et }s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2.$$

a) Montrer que $s_x^2>0$

b) Montrer que $\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)y_i=\sum_{i=1}^n(x_iy_i)-n\bar x\bar y$ et $\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2=\sum_{i=1}^n(x_i^2)-n\bar x^2$.

c) On pose pour tout $i$ de $[\![1,n]\!]$ : $\alpha_i=\frac{(x_i-\bar x)}{ns_x^2}$. Montrer que : $\sum_{i=1}^n\alpha_i=0$, $\sum_{i=1}^n\alpha_ix_i=1$ et $\sum_{i=1}^n\alpha_i^2=\frac{1}{ns_x^2}$.

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a) D'abord $s_x^2$ est une somme de termes positifs donc $s_x^2\geq 0$. Ensuite, puisque tous les $x_i$ ne sont pas identique, il existe forcément un $x_i$ qui soit différent de $\bar x$ et donc $(x_i-\bar x)^2>0$. Par conséquent $s_x^2>0$.

b) On utilise à fond la linéarité des sommes finies. Pour la première somme : $$\begin{align} \sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)y_i&=\sum_{i=1}^nx_iy_i-\bar x\sum_{i=1}^ny_i\\ &=\sum_{i=1}^nx_iy_i-\bar x\frac{n}{n}\sum_{i=1}^ny_i\\ &=\sum_{i=1}^n(x_iy_i)-n\bar x\bar y. \end{align}$$ et pour la seconde somme $$\begin{align} \sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2&=\sum_{i=1}^n(x_i^2-2x_i\bar x+\bar x^2)\\ &=\sum_{i=1}^nx_i^2-2\bar x\sum_{i=1}^nx_i+n\bar x^2\\ &=\sum_{i=1}^nx_i^2-2n\bar x^2+n\bar x^2\\ &=\sum_{i=1}^nx_i^2-n\bar x^2. \end{align}$$

c) Pour la première $$\begin{align} \sum_{i=1}^n\alpha_i&=\sum_{i=1}^n\frac{(x_i-\bar x)}{ns_x^2}\\ &=\frac{1}{ns_x^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)\\ &=\frac{1}{ns_x^2}\left(\sum_{i=1}^nx_i-n\bar x\right)\\ &=\frac{1}{ns_x^2}\left(n\bar x-n\bar x\right)\\ &=0. \end{align}$$ pour la seconde $$\begin{align} \sum_{i=1}^n\alpha_ix_i&=\sum_{i=1}^n\alpha_i(x_i-\bar x+\bar x)\\ &=\sum_{i=1}^n\alpha_i(x_i-\bar x)+\bar x\sum_{i=1}^n\alpha_i\\ &=\sum_{i=1}^n\alpha_i(x_i-\bar x)\\ &=\frac{1}{ns_x^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\\ &=\frac{ns_x^2}{ns_x^2}\\ &=1 \end{align}$$ et pour la troisième $$\sum_{i=1}^n\alpha_i^2=\frac{1}{(ns_x^2)^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2=\frac{ns_x^2}{(ns_x^2)^2}=\frac{1}{(ns_x^2)^2}.$$


Exercice (HEC 2013 math II, 14.a) Soit $(a_k)_{k\in\mathbb N}$ une suite réelle. Pour tout n de $\mathbb N^*$ et tout réel $t>0$, établir l'égalité : $$2\sum_{k=0}^{2n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{a_{k+1}}{t+k}\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{a_{2k+1}}{\frac{t}{2}+k}\right)+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{a_{2k+2}}{\frac{t+1}{2}+k}\right)+2\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)$$

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On observe que dans les sommes de droite il y a une somme avec des $a_k$ d'indice pair ($2k+2$) et une somme avec des indices impairs ($2k+1$). Ceci nous incite alors à raisonner comme suit.

On commence par couper la somme de gauche en les termes pairs et impairs : $$\sum_{k=0}^{2n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{a_{k+1}}{t+k}\right)=\sum_{k\in[\![0,2n-1]\!],\ k\text{ pair}}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{a_{k+1}}{t+k}\right)+\sum_{k\in[\![0,2n-1]\!],\ k\text{ impair}}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{a_{k+1}}{t+k}\right).$$ Si $k$ est pair, on peut l'écrire sous forme $k=2p+2$, et comme $k\in[\![0,2n-1]\!]$ les valeurs pairs de $k$ sont $0,2,4,\dots,2n-2$ et donc $p\in[\![0,n-1]\!]$. De même si $k$ est impair, on peut l'écrire sous la forme $k=2p+1$ avec $p\in[\![0,n-1]\!]$. Nous avons alors : $$2\sum_{k=0}^{2n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{a_{k+1}}{t+k}\right) = 2\sum_{p=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2p+1}-\frac{a_{2p+1}}{t+2p}\right)+2\sum_{p=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2p+2}-\frac{a_{2p+2}}{t+2p+1}\right).$$ Le nom du compteur dans la somme ayant peu d'importance, on peut renommer $p$ par $k$ pour coller à l'énoncé de l'exercice, de sorte que : $$\begin{align} 2\sum_{k=0}^{2n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{a_{k+1}}{t+k}\right) &= 2\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{a_{2k+1}}{t+2k}\right)+2\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2k+2}-\frac{a_{2k+2}}{t+2k+1}\right)\\ &= 2\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}+\frac{1}{2k+2}-\frac{a_{2k+1}}{t+2k}\right)+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{a_{2k+2}}{\frac{t}{2}+k+\frac{1}{2}}\right)\\ &=2\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)+2\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2k+2}-\frac{a_{2k+1}}{t+2k}\right)+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{a_{2k+2}}{\frac{t+1}{2}+k}\right)\\ &=2\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{a_{2k+1}}{\frac{t}{2}+k}\right)+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{a_{2k+2}}{\frac{t+1}{2}+k}\right) \end{align}$$


Exercice (EDHEC 2009, Exercice 2 4)a)) : Soient $\alpha>1$ et $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite réelle vérifiant : $$\forall n\in\mathbb N^*,\ u_n=n\alpha(u_n-u_{n+1}).$$ On pose pour $n\in\mathbb N^*$, $S_n=\sum_{k=1}^nu_k$. Montrer que $S_n=\frac{n\alpha}{\alpha-1}u_{n+1}$.

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On somme l'égalité $u_n=n\alpha(u_n-u_{n+1})$ et on a : $$\begin{align} \sum_{k=1}^nu_k=\sum_{k=1}^nk\alpha(u_k-u_{k+1})&\Longleftrightarrow S_n=\alpha\sum_{k=1}^nku_k-\alpha\sum_{k=1}^nku_{k+1}\\ &\Longleftrightarrow S_n=\alpha\sum_{k=1}^nku_k-\alpha\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)u_{k}\text{ par décalage d'indice}\\ &\Longleftrightarrow S_n=\alpha\sum_{k=1}^nku_k-\alpha\sum_{k=2}^{n+1}ku_{k}+\alpha\sum_{k=2}^{n+1}u_{k}\text{ par linéarité}\\ &\Longleftrightarrow S_n=\left(\alpha\sum_{k=2}^nku_k+\alpha u_1\right)-\left(\alpha\sum_{k=2}^{n}ku_{k}+\alpha (n+1)u_{n+1}\right)+\alpha\sum_{k=2}^{n+1}u_{k}\\ &\Longleftrightarrow S_n=\alpha u_1-\alpha (n+1)u_{n+1}+\alpha\sum_{k=2}^{n+1}u_{k}. \end{align}$$ Enfin comme $\sum_{k=2}^{n+1}u_{k}=\sum_{k=1}^{n}u_{k}-u_1+u_{n+1}$, on a alors $\sum_{k=2}^{n+1}u_{k}=S_n-u_1+u_{n+1}$ et il suit que $$S_n=\alpha u_1-\alpha (n+1)u_{n+1}+\alpha\left(S_n-u_1+u_{n+1}\right).$$ Il ne reste plus alors qu'à simplifier et résoudre cette dernière équation avec $S_n$ comme inconnue pour trouver le résultat.


Autres exercices


On pourra faire le HEC 2000 math II, partie I questions 1)a)b), 2)a)b)c), 3)a)b). Egalement la démonstration par récurrence de la formule du binôme de Newton : Récurrences pour ECS.

Contacter l'auteur du site : frederic.millet @ math-sup.fr