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Corrigé HEC math II 2010

Thèmes abordés

Suites;
Séries;
Variables aléatoires continues;
Intégrales généralisées.

Remarque

Il s'agit d'un sujet technique et alambiqué. Idéal pour travailler les problèmes de convergences d'intégrales. Malheureusement le sujet manque à certains moment de clarté. Ainsi dans la partie II la phrase " $X_\alpha$ est indépendante de chacune des variables $(Y_k)_k$ " pourrait laisser croire que les variables sont deux à deux indépendantes. Or ce n'est pas le cas, il faut en fait comprendre : "les variables aléatoires $X_\alpha,\ (Y_k)_{k}$ sont indépendantes."

Conseils

On prendra garde à bien vérifier les convergences des intégrales généralisées. On se souviendra aussi que l'espérance d'une variables aléatoires continue existe s'il y a convergence de $\int |x|f(x)dx$ . On n'oubliera pas non plus d'invoquer systématiquement l'indépendance des variables aléatoires pour utiliser le produit de convolution (ça ne marche pas sinon).

Partie I

Dans tout le problème :

toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un espace probabilisé $(\Omega,{\cal A},P)$ ;
pour tout réel $t>0$ , $X_t$ désigne une variable aléatoire à valeurs strictement positives qui suit la loi gamma de paramètre t, notée $\gamma(t)$ ;
U désigne une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur $[0,1]$ ;
l'espérance et la variance d'une variable aléatoire A sont notées respectivement $E(A)$ et $V(A)$ ;
la notation exp désigne la fonction exponentielle de base e.

On rappelle ou on admet sans démonstration les résultats suivants :

la fonction $\Gamma$ définie pour tout réel $t>0$ par $\Gamma(t)=\int_0^{+\infty}e^{-u}u^{t-1}du$ , est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R^{+*}$ ; on note $\Gamma'$ et $\Gamma''$ les dérives premières et seconde de la fonction $\Gamma$ . Pour tout réel $t>0$ , les intégrales $\int_0^{+\infty}(\ln u)e^{-u}u^{t-1}du$ et $\int_0^{+\infty}(\ln u)^2e^{-u}u^{t-1}du$ sont convergentes et valent respectivement $\Gamma'(t)$ et $\Gamma''(t)$ ;
on a pour tout réel $t>0$ : $\Gamma(t+1)=t\Gamma(t)$ ;
pour tout réel $t>0$ , une densité $f_{X_t}$ de $X_t$ est donnée par : $f_{X_t}(x)=\begin{cases}& \frac{1}{\Gamma(t)}e^{-x}x^{t-1}\text{ si }x>0\\ & 0\text{ si } x\leq 0\end{cases}$ ;
$\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ .

L'objet du problème est de démontrer quelques propriétés de la fonction $\Gamma$ en utilisant des méthodes essentiellement probabilistes.

Partie I. Quelques résultats préliminaires

1. On pose pour tout n de $\mathbb N^*$ : $\displaystyle h_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ . On considère les deux suites $(\gamma _n)_{n\geq 1}$ et $(v_n)_{n\geq 1}$ définies par : pour tout n de $\mathbb N^*$ , $\gamma_n=h_n-\ln n$ et $v_n=\gamma_{n+1}-\gamma_n$ .

a) Montrer que la série de terme général $v_n$ est convergente.

Par calcul, on a : $v_n=\gamma_{n+1}-\gamma_n=\frac{1}{n+1}-\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\overset{+\infty}{\sim}\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\overset{+\infty}{\sim}-\frac{1}{n^2}.$ Et on conclue facilement en utilisant le fait que $\sum\frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann convergente.

b) En déduire la convergence de la suite $(\gamma_n)_{n\geq 1}$ ; on note $\gamma$ sa limite.

$\sum_{k=1}^nv_n$ est une somme téléscopique et vaut $\gamma_{n+1}-\gamma_1$ . Or la série $\sum v_n$ converge, donc $\gamma_n$ aussi.

c) On pose pour tout réel $t>0$ : $d_{n,t}=\gamma+\ln(t+n)-h_n$ . Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to\infty}d_{n,t}$ .

Un petit calcul donne $d_{n,t}=\gamma-\gamma_n+\ln\left(1+\frac{t}{n}\right)$ qui tend vers 0.

2.a) Rappeler sans démonstration les valeurs respectives de $E(X_t)$ et $V(X_t)$ .

Une loi gamma de paramètre t a pour espérance $\frac{1}{t}$ et pour variance $\frac{1}{t^2}$ .

b) On note pour tout réel $t>0$ , $\psi(t)=\Gamma'(t)/\Gamma(t)$ , et $\psi'$ la dérivée de $\psi$ . Montrer que $E(\ln(X_t))=\psi(t)$ et $V(\ln(X_t))=\psi'(t)$ .

Grâce à la formule de transfert, on a : $E(\ln(X_t))=\frac{1}{\Gamma(t)}\int_{-\infty}^{+\infty}\ln(x)e^{-x}x^{t-1}dx=\frac{\Gamma'(t)}{\Gamma(t)}=\psi(t).$ On calculera de même la variance à l'aide de la formule de transfert pour établir l'autre égalité.

3.a) Montrer que pour tout réel $t>1$ , $E(1/X_t)$ existe et calculer sa valeur.

Toujours grâce à la formule de transfert : $E\left(\frac{1}{X_t}\right)=\frac{1}{\Gamma(t)}\int_0^{+\infty}e^{-x}x^{t-2}dx,$ qui est une intégrale convergente pour $t>1$ . D'autre part cette dernière intégrale vaut $\frac{\Gamma(t-1)}{\Gamma(t)}=\frac{\Gamma(t-1)}{(t-1)\Gamma(t-1)}=\frac{1}{t-1}$ .

b) Etablir pour tout réel $x>0$ , l'encadrement : $1-\frac{1}{x}\leq\ln x\leq x-1$ .

On étudiera par exemple les fonctions $x\mapsto \ln x-1+\frac{1}{x}$ et $x\mapsto \ln x-x+1$ à l'aide de tableaux de variations.

En déduire que l'on a : $(\ln x)^2\leq\left(1-\frac{1}{x}\right)^2+(x-1)^2$ .

On prendra garde que $\ln$ change de signe. Si $x\geq 1$ , $\ln x\geq 0$ donc $(\ln x)^2\leq(x-1)^2\leq(x-1)^2+(\frac{1}{x}-1)^2$ . Si maintenant $x\leq 1$ , $0\leq-\ln x\leq\frac{1}{x}-1$ et $(\ln x)^2\leq(\frac{1}{x}-1)^2\leq(x-1)^2+(\frac{1}{x}-1)^2$ .

c) A l'aide des question précédentes, établir les inégalités suivantes : pour tout réel $t>0$ , $E\left(\ln\left(\frac{X_t}{t}\right)\right)\leq 0$ ; pour tout réel $t>1$ , $E\left(\ln\left(\frac{X_t}{t}\right)\right)\geq -\frac{1}{t-1}$ , pour tout réel $t>2$ , $E\left(\ln^2\left(\frac{X_t}{t}\right)\right)\leq\frac{2t}{(t-2)^2}$ .

On sait que $\ln x\leq x-1$ , donc par croissance et linéarité de l'espérance $E\left(\ln\left(\frac{X_t}{t}\right)\right)\leq E\left(\frac{X_t}{x}-1\right)=\frac{1}{t}E(X_t)-1=\frac{1}{t^2}-1\leq 0.$ Les deux autres inégalités s'obtiennent de la même façon en utilisant les inégalités établies en b.

d) Soit t un réel fixé strictement positif. Montrer que la suite de variables aléatoires $\left(\ln\left(\frac{X_{t+n}}{t+n}\right)\right)_{n\geq 1}$ converge en probabilité vers 0.

On utilise l'inégalité de Markov : $P\left(\left|\ln\left(\frac{X_{t+n}}{t+n}\right)\right|>\epsilon\right)=P\left(\left|\ln\left(\frac{X_{t+n}}{t+n}\right)\right|^2>\epsilon^2\right)\leq \frac{1}{\epsilon^2}E\left(\ln^2\left(\frac{X_{t+n}}{t+n}\right)\right)\frac{1}{\epsilon^2}\frac{2(t+n)}{(t+n-2)^2}\overset{+\infty}{\longrightarrow}0.$ Il y a donc bien convergence en proba vers 0.

4. Soit $(A_n)_{n\geq 1}$ , $(B_n)_{n\geq 1}$ et $(C_n)_{n\geq 1}$ , trois suites de variables aléatoires à densité qui convergent en probabilité vers 0. On pose pour tout n de $\mathbb N^*$ : $D_n=A_n+B_n+C_n$ . Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle qui converge vers u. On considère deux variables aléatoires réelles à densité M et N telles que pour tout n de $\mathbb N^n$ , M est de même loi que $N+D_n+u_n$ .

a) Montrer que pour tout réel $\epsilon>0$ , l'inclusion : $\left[|D_n|>\epsilon\right]\subset\left[|A_n|>\epsilon/3\right]\cup\left[|B_n|>\epsilon/3\right]\cup\left[|C_n|>\epsilon/3\right]$ .

En déduire que la suite $(D_n)_{n\geq 1}$ converge en probabilité vers 0.

On observe d'abord grâce à l'inégalité triangulaire que : $|A_n|+|B_n|+|C_n|\geq|A_n+B_n+C_n|=|D_n|.$ Donc $|D_n|>\epsilon\Rightarrow |A_n|+|B_n|+|C_n|>\epsilon$ . D'autre part les trois termes ne peuvent pas tous être plus petit que $\epsilon/3$ sinon la somme serait inférieure ou égale à trois. Il suit que : $|D_n|>\epsilon\Rightarrow |A_n|>\epsilon/3\text{ ou }|B_n|>\epsilon/3\text{ ou }|C_n|>\epsilon/3.$ L'implication se traduisant en inclusion et le "ou" en union, on en déduit l'inclusion recherchée. Enfin grâce à la propriété $P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)$ et la propriété $A\subset B\Rightarrow P(A)\leq P(B)$ , on a que : $P(|D_n|>\epsilon)\leq P(|A_n|>\epsilon/3)+P(|B_n|>\epsilon/3)+P(|C_n|>\epsilon/3),$ Or chacun des trois termes de droite tend vers 0 par convergence en proba donc $D_n$ tend vers 0 en proba.

b) On pose pour tout n de $\mathbb N^*$ : $V_n=D_n+u_n-u$ . Montrer que la suite de variables aléatoires $(V_n)_{n\geq 1}$ converge en probabilité vers 0. En déduire la limite en probabilité de la suite $((N+u)+V_n)_{n\geq 1}$ .

On peut raisonner comme dans la question précédente, c'est à dire on a l'inclusion suivante : $\left[|V_n|>\epsilon\right]\subset\left[|D_n|>\epsilon\right]\cup\left[|u_n-u|>\epsilon\right].$ Comme $u_n$ tend vers u, pour n suffisemment grand l'évènement $\left[|u_n-u|>\epsilon\right]$ est vide donc de proba nulle et on a : $P(|V_n|>\epsilon)\leq P(|D_n|>\epsilon).$ Enfin on conclut avec le fait qu'on a montré que $D_n$ tend vers 0 en proba. Enfin on a que : $P\left(\left|(N+u+V_n)-(N+u)\right|>\epsilon\right)=P(|V_n|>\epsilon)\overset{+\infty}{\longrightarrow}0,$ par convergence vers 0 en proba de $V_n$ . Il suit que $N+u+V_n$ tend vers $N+u$ en proba.

c) On admet sans démonstration que la convergence en probabilité entraine la convergence en loi. Montrer que les variables aléatoires M et N+u sont de même loi.

On a $N+u+V_n=N+D_n+u_n$ qui a même loi que $M$ et comme la convergence en proba implique la convergence en loi, le résultat découle de b.

5. Soit $(\alpha,\beta)$ un couple de réels strictement positifs, et $X_\alpha$ et $X_\beta$ deux variables indépendantes de lois respectives $\gamma_\alpha$ et $\gamma_\beta$ . On pose : $T_{\alpha,\beta}=\frac{X\alpha}{X_\beta}$ , $Q_{\alpha,\beta}=\ln(T_{\alpha,\beta})$ et $B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$ .

a) Préciser $Q_{\alpha,\beta}(\Omega)$ . Déterminer une densité de $\ln(X_\alpha)$ et de $-\ln(X_\beta)$ respectivement.

Comme une loi gamma prend ses valeurs dans $\mathbb R^+$ , $T_{\alpha,\beta}$ prend ses valeurs dans $\mathbb R^+$ . Enfin $\ln:\mathbb R^+\to\mathbb R$ donc $Q_{\alpha,\beta}(\Omega)=\mathbb R$ . Pour une densité de $\ln X_\alpha$ , on calcule d'abord la fonction de répartition : $P(\ln X_\alpha<\!x)=P(X_\alpha<\! e^x)=F_{X_\alpha}(e^x),$ puis on la dérive. On trouve alors : $f_{\ln X_\alpha}(x)=\left(P(X_\alpha<\! e^x)\right)'=e^x\frac{1}{\Gamma(\alpha)}e^{e^{x}}e^{x\alpha-x}=\frac{e^{-e^x}e^{\alpha x}}{\Gamma(\alpha)}.$ De même on a : $P(-\ln X_\beta<\!x)=P(X_\beta> e^{-x})=1-F_{X_\beta}(x).$ Puis en dérivant, on trouve : $f_{-\ln X_\beta}(x)=\frac{e^{e^{-x}}e^{-\beta x}}{\Gamma(\beta)}.$

b) En déduire qu'une densité $f_{Q_{\alpha,\beta}}$ de $Q_{\alpha,\beta}$ est donnée par : pour tout réel x, $f_{Q_{\alpha,\beta}}(x)=\frac{e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{(\alpha+\beta)y}\exp\left(-e^y(1+e^{-x})\right)dy.$

Il suffit de se souvenir que si X et Y sont deux variables indépendantes de densité $f_X$ et $f_Y$ , alors la densité de $X+Y$ est le produit de convolution : $f_{X+Y}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x-t)f_Y(t)dt,$ et de remarquer que $Q_{\alpha,\beta}=\ln X_\alpha+(-\ln X_\beta)$ .

c) A l'aide du changement de variable $u=e^y(1+e^{-x})$ , dont on justifiera la validiré, établir la formule suivante : pour tout x réel, $f_{Q_{\alpha,\beta}}=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}\times\frac{e^{\alpha x}}{(1+e^x)^{\alpha+\beta}}$ .

On n'oubliera pas que pour les intégrales impropres, il faut s'assurer que le changement de variable est de classe $C^1$ strictement monotone. Ici l'application $y\mapsto e^{y}(1+e^{-x})$ est $C^1$ strictement croissante de $\mathbb R$ dans $\mathbb R^+$ donc les nouveaux bords de l'intégrale seront $\int_0^{+\infty}$ . Après le changement de variable, c'est un petit calcul!

d) En déduire une densité $f_{T_{\alpha,\beta}}$ de $T_{\alpha,\beta}$ .

On raisonne encore avec les fonctions de répartitions en n'oubliant pas que $T_{\alpha,\beta}$ prend ses valeurs dans $\mathbb R^+$ et on trouve : $f_{T_{\alpha,\beta}}(x)=\begin{cases}& 0\text{ si }x\leq 0\\ & \frac{x^{\alpha-1}}{B(\alpha,\beta)(1+x)^{\alpha+\beta}}\text{ si }x>0\end{cases}$

e) On pose : $J_{\alpha,\beta}=\frac{X_\alpha}{X_\alpha+X_\beta}$ . Montrer qu'une densité de $J_{\alpha,\beta}$ est donnée par : $f_{\alpha,\beta}(z)=\begin{cases}& 0 \text{ si }z\not\in ]0,1[\\ & \frac{1}{B(\alpha,\beta)}z^{\alpha-1}(1-z)^{\beta-1} \text{ si } z\in ]0,1[\end{cases}.$

On observe d'abord que $J_{\alpha,\beta}$ est à valeurs dans $]0,1[$ . Ensuite, calcule la fonction de répartion, pour tout $x\in]0,1[$ : $P(J_{\alpha,\beta}\geq x)=P\left(\frac{X_\alpha}{X_\alpha+X_\beta}\leq x\right)=P\left(\frac{X_\alpha}{X\beta}\leq\frac{x}{1-x}\right)=F_{T_{\alpha,\beta}}\left(\frac{x}{1-x}\right),$ puis on procède comme précédemment en dérivant.

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Formulaire

L'insertion de formules suit la syntaxe LATEX. Toute formule doit être encadrée par des dollars : $\bf{\$formule\$}$ . Par exemple $\bf{\$ u\_n \$}$ sera interprétée comme une formule et donnera $\bf{u_n}$ . Voici quelques exemples pour ceux qui ne sont pas habitués :

Indice bas u_n : $u_n$
Indice haut X^p : $X^p$
Multi-indices A_{1,2}^{pq} : $A_{1,2}^{pq}$
Intégrales \int_a^b f(t)dt : $\int_a^b f(t)dt$
Somme \sum_{i=1}^n u_i : $\sum_{i=1}^n u_i$
Pour les lettres greques, il suffit de connaître leur noms, \alpha donn $\alpha$ , \beta donne $\beta$ , etc.
Et pour les lettres greques majuscules, il suffit de mettre la première lettre en majuscule : \Gamma donne $\Gamma$ , \Sigma donne $\Sigma$ etc.

Contacter l'auteur du site : frederic.millet @ math-sup.fr