Ce sujet aborde le problème dit des "évènement rares". Ce sont des évènement qui à-priori vont survenir mais avec une faible probabilité. On en trouve par exemple des applications en sismologie ou en hydrologie pour l'étude des crues. Ici l'évènement rare étudié est celui de la non apparition d'un numéro dans un jeu de loto avec remise (donc pas un vrai loto!!). Plus on effectue de tirages, plus la probabilité qu'un numéro ne survienne pas deviens rare (si vous faite un parallèle avec la pluie, plus les jours sans pluie passent, moins il y aura de chance qu'il fasse beau le landemain). Le sujet va mettre en avant une loi permettant de faire une estimation statistique de cet évènement rare et donc de faire des prédictions quantifiée sur un tel évènement.
Soit r un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contient r boules numérotées 1,2,...,r. On pioche indéfiniment les boules avec remise, chaque boule pouvant être piochée de façon équiprobable.
Pour tout entier , on note Y_i la variable aléatoire égale au "nombre de pioches nécessaires pour obtenir i boules distinctes". On convient que Y_1=1.
On désigne par X_r la variable aléatoire égale au "nombre de pioches nécessaires pour obtenir les r boules numérotées 1,2,...,r". Il est immédiat que X_r=Y_r.
Par exemple en supposant que r=4, si les boules piochées succesivement portent les numéros : 3,\ 3,\ 3,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 2,\ 4,\ 1, \dots
Alors on a : Y_1=1,\ Y_2=4,\ Y_3=8,\ Y_4=X_4=11.
La partie I établit certains résultats préliminaires qui seront utilisés dans d'autres parties.
La partie II se consacre à l'étude de la loi des variables discrètes Y_{i+1}-Y_i, afin d'en déduire l'espérance et la variance de la variable discrète X_r.
La partie III détermine la loi de la variable X_r, puis étudie la distribution asymptotique de la variable X_r autour de la moyenne.
On note exp la fonction exponentielle définie par : \forall x\in\mathbb R,\ exp(x)=e^x.
1. Etude d'une suite.
On introduit la suite (u_n)_{n\geq 1} définie par : \forall n\geq 1,\ u_n=\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\right)-\ln(n).
(a) Ecrire un programme Pascal permettant de calculer u_n pour un entier n\geq 1 donné.
(b) A l'aide d'un développement limité, justifier que u_n-u_{n+1}\underset{n\to+\infty}{\sim}\frac{1}{2n^2}.
En déduire la nature de la série \sum_{n\geq 1}(u_n-u_{n+1}) puis démontrer la convergence de la suite (u_n)_{n\geq 1}.
(c) Montrer que la suite \left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{i^2}\right)_{n\geq 1} converge (on ne demande pas le calcul de la limite).
2. Loi de Gumbel.
Soit Z une variable aléatoire continue. On suppose que Z suit la loi de Gumbel, c'est à dire que sa fonction de répartition F_Z est définie par : \forall t\in\mathbb R,\ F_Z(t)=\exp(-\exp(-t)).
(a) Vérifier que la fonction F_Z est bien une fonction de répartition puis que Z possède une densité que l'on précisera.
(b) On considère la variable aléatoire W=\exp(-Z).
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire W.
En déduire que la variable aléatoire W suit une loi usuelle dont on précisera le ou les paramètres.
(c) Pour tout entier k, montrer que l'intégrale \int_0^{+\infty}(\ln(x))^ke^{-x}dx est absolument convergente.
(d) En justifiant le changement de variable x=\exp(-t), démontrer que la variable Z admet un moment d'ordre k valant : E(Z^k)=\int_0^{+\infty}(-\ln(x))^ke^{-x}dx.
1. Etude du cas r=3.
On suppose uniquement dans cette question que r=3, c'est à dire que l'urne ne contient que trois boules numérotées respectivement 1,2,3 chacune pouvant être piochée avec la probabilité \frac{1}{3}.
(a) Soit n un entier naturel non nul.
Comparer les évènements (Y_2>n) et C_n : "les n premières pioches fournissent des boules portant toutes le même numéro".
Calculer la probabilité P(C_n). En déduire la probabilité P(Y_2>n) puis donner la loi de la variable Y_2.
(b) Justifier que : \forall n\geq 1,\ P(Y_3-Y_2=n)=\sum_{k=2}^{+\infty}P([Y_3=n+k]\cap[Y_2=k])
puis que : \forall n\geq 1,\ \forall k\geq 2,\ P([Y_3=n+k]\cap[Y_2=k])=\frac{1}{3^{k-1}}\left(\frac{2}{3}\right)^n.
En déduire la loi de la variable Y_3-Y_2.
Dans toute la suite du problème, r désignera un entier supérieur ou égal à 2.2. Loi de Y_{i+1}-Y_i pour i\in\{1,2,\dots,r-1\}.
(a) Justifier que Y_i(\Omega)=\{i,i+1,i+2,\dots\}=\mathbb N\backslash\{0,1,2,\dots,i-1\}\ et\ (Y_{i+1}-Y_i)(\Omega)=\mathbb N\backslash\{0\}.
(b) Démontrer que : \forall n\geq 1,\forall k\geq i,\ P_{(Y_i=k)}(Y_{i+1}-Y_i=n)=\left(\frac{i}{r}\right)^{n-1}\left(1-\frac{i}{r}\right).
(c) En déduire que Y_{i+1}-Y_i, suit une loi usuelle dont on précisera le ou les paramètres puis établir que : E(Y_{i+1}-Y_i)=\frac{r}{r-i}\ et\ V(Y_{i+1}-Y_i)=\frac{ri}{(r-i)^2}.
3. Espérance et variance de X_r.
(a) Justifier que : X_r=1+\sum_{i=1}^{r-1}(Y_{r-i+1}-Y_{r-i}).
En admettant que les variables Y_2-Y_1,\ Y_3-Y_2,\dots,Y_r-Y_{r-1} sont indépendantes, vérifier que E(X_r)=r\sum_{i=1}^r\frac{1}{i}\ et\ V(X_r)=r^2\sum_{i=1}^r\frac{1}{i^2}-r\sum_{i=1}^r\frac{1}{i}.
(b) A l'aide de la question I.1, prouver l'existence de deux réels \alpha et \beta tels que : E(X_r)\underset{r\to+\infty}{=}r\ln(r)+\alpha r+ o(r)\ et\ V(X_r)\underset{r\to+\infty}{\sim}\beta r^2.
Pour tout entier k\in\{1,2,\dots,r\} et tout entier naturel m\geq 1, on considère l'évènement A_{k,m} : "le numéro k n'a pas été pioché durant les m premières pioches".
1. Loi de X_r.
Soit m un entier naturel non nul.
(a) Pour tout entier k\in\{1,2,\dots,r\}, calculer successivement :
(b) Justifier que : P(X_r>m)=P(A_{1,m}\cup A_{2,m}\cup\dots\cup A_{r,m})
puis, en utilisant la formule du crible de Poincaré, démontrer que : \begin{align*} P(X_r>m)&=\binom{r}{1}\left(1-\frac{1}{r}\right)^m-\binom{r}{2}\left(1-\frac{2}{r}\right)^m+\dots+(-1)^{r-1}\binom{r}{r}\left(1-\frac{r}{r}\right)\\ &=\sum_{k=1}^r(-1)^{k-1}\binom{r}{k}\left(1-\frac{k}{r}\right)^m. \end{align*}
En déduire la loi de X_r.
2. Comportement de X_r au delà de sa moyenne.
(a) A l'aide d'une récurrence sur m, montrer que, pour toute famille (D_1,\dots,D_m) d'évènements, on a : P(D_1\cup D_2\cup \dots\cup D_m)\leq P(D_1)+P(D_2)+\dots+P(D_m).
(b) Démontrer que pour tout réel x, on a : \exp(x)\geq 1+x. En déduire que : \forall m\in\mathbb N\backslash\{0\},\ \forall k\in\{1,\dots,r\},\ P(A_{k,m})\leq \exp\left(-\frac{m}{r}\right).
(c) Soit \epsilon>0, on note M_r la partie entière de (1-\epsilon)r\ln(r), c'est à dire l'unique entier relatif tel que : M_r\leq (1+\epsilon)r\ln(r) <\ M_r+1.
Comparer les évènements "(X_r>M_r)" et "(X_r>(1+\epsilon)r\ln(r))". En déduire que : P(X_r>(1+\epsilon)r\ln(r))\leq\frac{e}{r^\epsilon}.
Ainsi on vient d'établir que : \forall\epsilon>0,\ \lim_{r\to\infty}P(X_r>(1+\epsilon)r\ln(r))=0 qui peut se traduire ainsi : l'évènement X_r est significativement supérieur à sa moyenne" est un évènement asymptotiquement rare.
3. Distribution de X_r autour de sa moyenne.
On introduit la suite (Z_r)_{r\geq 2} de variables aléatoires définies par : \forall r\geq 2,\ Z_r=\frac{X_r-r\ln(r)}{r}.
Soit t un réel fixé, on note m_r la partie entière du réel r\ln(r)+rt, c'est à dire l'unique entier relatif tel que : m_r\leq r\ln(r)+rt<\ m_r+1.
(a) Justifier l'existence d'un rang r_0(t) tel que : \forall r\geq r_0(t),\ m_r\geq 1
puis prouver l'égalité : \forall r\geq r_0(t),\ P(Z_r>t)=P(X_r>m_r).
(b) Soit k un entier naturel. A l'aide d'un développement limité, établir que : m_r\ln\left(1-\frac{k}{r}\right)\underset{r\to+\infty}{=}-k\ln(r)-kt+o(1).
(c) Démontrer que, pour tout entier k, on a : \binom{r}{k}\underset{r\to+\infty}{\sim}\frac{r^k}{k!}.
En déduire que : \forall k\in\mathbb N,\ \lim_{r\to +\infty}\binom{r}{k}\left(1-\frac{k}{r}\right)^{m_r}=\frac{\exp(-kt)}{k!}.
(d) En admettant que l'on a : \lim_{r\to+\infty}\sum_{k=1}^{r-1}(-1)^{k-1}\binom{r}{k}\left(1-\frac{k}{r}\right)^{m_r}=\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k-1}\frac{\exp(-kt)}{k!}, exprimer la valeur de la limite \lim_{r\to+\infty}P(Z_r\leq t) en fonction de F_Z(t) (définie à la question I.2.).
Quel résultat vient-on d'établir sur la suite de variables aléatoires (Z_r)_{r\geq 2}?
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