Soit $n$ un entier naturel non nul, on considère $E=\mathbb R_n[X]$ l'espace vectoriel sur $\mathbb R$ des polynômes de degrés inférieur ou égal à $n$.
Pour tout entier naturel $j$, on note $P^{(j)}$ la dérivée j-ième de $P$.
On définit la famille de polynôme $(P_k)_{0\leq k\leq n}$ par : $$P_0(X)=1\text{ et }\forall k\in\{1,\dots,n\},\ P_k(X)=\frac{X(X-k)^{k-1}}{k!}.$$
1. (a) Prouver que la famille $(P_0,P_1,\dots,P_n)$ est une base de $E$.
La famille de polynôme est de degrés échelonnés donc libre. $E$ est de dimension $n+1$, il y a $n+1$ vecteur dans la famille donc c'est une base.
(b) Montrer que pour tout entier $k$ appartenant à $\{1,\dots,n\}$, on a : $$P'_k(X+1)=P_{k-1}(X)$$ puis, pour tous les entiers $k,j$ vérifiant $1\leq j\leq k\leq n$, donner une relation entre $P_k^{(j)}(X)$ et $P_{k-j}(X-j)$.
Pour la formule $P'_k(X+1)=P_{k-1}(X)$ il suffit de dériver $P_k$ et de ne pas oublier de faire un cas particulier pour $k=1$. Pour la relation à trouver, on observera que l'égalité précédente s'écrit aussi $P'_k(X)=P_{k-1}(X-1)$ donc en réitérant cette relation on aura $P^{j}_k(X)=P_{k-j}(X-j)$.
(c) Soit $P\in E$. Justifier l'existence d'un (n+1)-uplet $(a_0,a_1,\dots,a_n)\in\mathbb R^{n+1}$ tel que : $$P=a_0P_0+a_1P_1+\dots+a_nP_n=\sum_{k=0}^na_kP_k$$ puis établir que : $$\forall j\in\{0,\dots,n\},\ P^{(j)}(j)=a_j.$$
$(P_0,\dots,P_n)$ est une base de $E$ donc c'est une famille génératrice de $E$ ce qui justifie l'existence de $(a_0,\dots,a_n)$.
On observe que $P^{(0)}_0(0)=P_0(0)=1$ et d'après la relation établie en (b) que pour $j\in\{1,\dots, n\}$ $$P^{(j)}(j)=P_0(0)=1.$$ D'autre part $P_k$ étant de degrés $k$, si $j>k$, on a $P^{(j)}=0$. Enfin, toujours grâce à la relation (b), pour $j<\!k$ $$P_k^{(j)}(j)=P_{k-j}(j-j)=P_{k-j}(j-j)=0.$$ Il suit alors que : $$P^{(j)}(j)=\sum_{k=0}^na_kP_k^{(j)}(j)=0+\dots+a_jP_j^{(j)}(j)+\dots+0=a_j.$$
Ainsi on a établi la relation : $$\forall P\in E,\ P=\sum_{k=0}^nP^{(k)}(k)P_k.$$
2. On considère l'application $u$ définie sur $E$ par : $$\forall P\in E,\ u(P)(X)=P'(X+1).$$
(a) Etablir que $u$ est un endomorphisme de $E$.
La linéarité est une conséquence directe de la linéarité de la dérivation. Pour le caractère "endo", la dérivée d'un polynôme de degrés au plus $n$ est un polynôme de degrés au plus $n-1$ donc dans $E$.
(b) Ecrire la matrice $A$ de l'endomorphisme $u$ dans la base $(P_0,P_1,\dots,P_n)$ de $E$.
On a $u(P_0)=0$ et toujours d'après la relation 1.(b), on a $u(P_k)=P_{k-1}$ donc la matrice de $u$ dans la base $(P_0,\dots,P_n)$ est : $$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \dots & \dots & 0 & 1\\ 0 & \dots & \dots & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
(c) Déterminer le rang de $A$ ainsi que ses valeurs propres.
En examinant les colonnes de $A$, on voit que son rang vaut $n$ (il y a $n+1$ colonnes). D'autre part la matrice est triangulaire supérieure, ses valeurs propres sont sur la diagonale. Il n'y a donc qu'une seule valeur propre : 0.
(d) La matrice $A$ est-elle diagonalisable? (Une réponse argumentée est attendue))
Si $A$ était diagonalisable, sa matrice diagonale serait nulle (car la seule valeur propre est 0), c'est à dire que $u$ serait l'endomorphisme nul. Or ce n'est pas le cas donc $A$ n'est pas diagonalisable.
3. On définit que $E\times E$ l'application $\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^nP^{(k)}(k)Q^{(k)}(k)$.
(a) Démontrer que $\langle.,.\rangle$ définit un produit scalaire sur $E$.
Le caractère bilinéaire, positif, symétrique est un simple jeu d'écriture. Pour le caractère défini, on se souvient que $P^{(k)}(k)=a_k$ où les $a_k$ sont les coordonnées de $P$ dans la base $(P_0,\dots,P_n)$ donc : $$\langle P,P\rangle=0\Longleftrightarrow\sum_{k=0}^n a_k^2=0\Longleftrightarrow \forall k\in\{0,\dots,n\},\ a_k=0.$$ Il suit que $P$ est nul et le caractère définit du produit scalaire est démontré.
(b) Justifier que la famille $(P_0,P_1,\dots,P_n)$ est une base orthonormale de $E$.
On pourra par exemple reprendre le résultat de la réponse à la question 1.(c) qui établit que $P_k^{(k)}=1$ et $P_k^{(j)}=0$ pour $j\neq k$.
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