Dans tout le problème, $n$ est un entier tel que $n\geq 2$.
On confond polynôme de $\mathbb R[X]$ et fonction polynômiale sur $\mathbb R$ ou sur $[0,+\infty[$ ou sur $]0,+\infty[$.
On note $\mathbb R_{n-1}[X]$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb R[X]$ formé des polynômes de degré inférieur ou égal à $n-1$.
Soient $a_1,\dots,a_n$ des réels deux à deux distincts. On note $$\varphi:\mathbb R_{n-1}[X]\to\mathbb R^n,\ P\mapsto \varphi(P)=(P(a_1),\dots,P(a_n)).$$
1. Montrer que $\varphi$ est un ismorphisme.
La linéarité est claire. Comme $\mathbb R_{n-1}[X]$ et $\mathbb R^n$ sont de même dimension, pour montrer que $\varphi$ est bijective, il suffit de prouver qu'elle est injective. Or $\varphi(P)=0$ implique que $P$ a $n$ racines, mais comme $P$ est de degré au plus $n-1$, $P$ est nécessairement le polynôme nul. Il suit que $Ker(\varphi)=\{0\}$, d'où l'injectivité et le résultat.
2. En déduire que, pour tout $(b_1,\dots,b_n)\in\mathbb R^n$, il existe $P\in\mathbb R_{n-1}[X]$ unique tel que : $$\forall i\in\{1,\dots,n\},\ P(a_i)=b_i.$$
$\varphi$ est bijective donc pour $(b_1,\dots,b_n)\in\mathbb R^n$, il existe un unique polynôme de $\mathbb R_{n-1}[X]$ tel que $\varphi(P)=(a_1,\dots,a_n)$ d'où le résultat.
3. Exemple : Déterminer le polynôme $P_0$ de $\mathbb R_3[X]$ tel que : $$P_0(0)=1,\ P_0(1)=3,\ P_0(3)=31.$$
On trouve $$P(X)=\frac{(X-1)(X-3)}{(0-1)(0-3)}+3\frac{X(X-3)}{1(1-3)}+31\frac{X(X-1)}{3(3-1)}$$
On considère l'ensemble $E$ des polynômes $P$ de $\mathbb R[X]$ tels que : $$\forall x\in ]0;+\infty[,\ (P(x)\text{ et }P'(x)>0).$$
1. Donner un exemple d'élément de $E$.
$X^2+X+1$ par exemple.
2. Montrer que $E$ est stable par multiplication par un réel strictement positif, par addition et par multiplication, c'est-à-dire que, pour tout $\alpha\in]0;+\infty[$ et pour tous $P,Q\in E$, on a : $$\alpha P\in E,\ P+Q\in E,\ PQ\in E.$$ Est-ce que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R[X]$?
Pour la stabilité, il s'agit d'une simple question formelle. Maintenant $E$ n'est pas un sous-espace vectoriel. Pour le prouver on peu arguer que $0\not\in E$ ou bien observer que si $P\in E$ alors $-P\not\in E$.
3. Soit $P\in E$. On note $P_1:\mathbb R\to\mathbb R,\ x\mapsto\int_0^xP(t)dt.$ Montrer que : $P_1\in E$.
Tout est à peu près clair par croissance des intégrales et le fait que $\int_0^xP(t)dt$ est une primitive de $P$.
4. Soit $P\in E$. Montrer : $\forall x\in[0,+\infty[,\ P(x)\geq P(0)$.
Pour tout $P\in E$, on note $\widetilde P:[0,+\infty[\to[P(0),+\infty[,\ x\mapsto\widetilde P(x)=P(x)$.
Si $P\in E$ alors $P'>0$ sur $]0,+\infty[$ donc $P$ est croissante sur $[0,+\infty[$ et $\forall x\geq 0,P(x)\leq P(0)$.
5. Montrer que l'application $\widetilde P$ est bijective.
$\widetilde P$ est continue strictement croissante sur $[0,+\infty[$ car $P'>0$ sur $]0,+\infty[$, elle réalise donc une bijection sur son image. D'autre part $P$ étant un polynôme non constant (car $P'\neq 0$) on sait que $\lim_{x\to+\infty}|P(x)|=+\infty$, mais par croissance $\lim_{x\to+\infty}P(x)=+\infty$. Donc par croissance $P$ réalise une bijection de $[0,+\infty[$ sur $[P(0),+\infty[$.
6. Si, de plux, $P$ est de degré au moins $2$, est-ce que l'application réciproque $\widetilde P^{-1}$ de $\widetilde P$ est une application polynomiale?
Non. Par exemple $X^2\in E$ mais dans ce cas $\forall x\in[0,+\infty[,\widetilde P^{-1}(x)=\sqrt x$ n'est une pas un polynôme.
On note $S_n^+$ l'ensemble des matrices symétriques $A$ de $M_n(\mathbb R)$ telles que : $$\forall U\in M_{n,1}(\mathbb R),\ ^tUAU\geq 0.$$ Soit $A$ une matrice symétrique de $M_n(\mathbb R)$.
1. La matrice $A$ est-elle diagonalisable dans $M_n(\mathbb R)$? Justifier.
$A$ est symétrique donc diagonalisable.
2. a. Montrer que si $A$ est dans $S_n^+$, alors toutes les valeurs propres de $A$ sont dans $[0,+\infty[$.
Si $U$ est un vecteur propre de $A$ de valeur propre $\lambda$, on a $$0\leq ^tUAU=\lambda ^tUU\ (\star)$$ Or si $U=\begin{pmatrix}u_1\\ \vdots\\ u_n\end{pmatrix}$ alors $^tUU=u_1^2+\dots+u_n^2\geq 0$. Mais comme $U$ est un vecteur propre, il est non nul donc $^tUU>0$. De $(\star)$ on déduit alors que $\lambda\geq 0$, d'où le résultat.
b. Réciproquement, montrer que si toutes les valeurs propres de $A$ sont dans $[0,+\infty[$, alors $A$ est dans $S_n^+$.
$A$ est symétrique donc on peut trouver $U_1,\dots,U_n$ une base orthogonmale de vecteurs propres associées aux valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_n\geq 0$. On décompose alors $U$ sur cette base $U=\mu_1U_1+\dots+\mu_nU_n$ et par orthonormalité : $$ ^tUAU=^t(\mu_1U_1+\dots+\mu_nU_n)(\lambda_1\mu_1U_1+\dots+\lambda_n\mu_nU_n)=\lambda_1\mu_1^{2} +\dots+\lambda_n\mu_n^{2}\geq 0.$$ Donc $A$ est dans $S_n^+$.
Soit $P\in E$ de degré $n-1$ (l'ensemble $E$ a été défini dans la partie II), et soit $A\in S_n^+$ admettant $n$ valeurs propres deux à deux distinctes, notées $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ appartenant toutes à $[P(0),+\infty[$.
On note $D$ la matrice diagonale de $M_n(\mathbb R)$ dont les termes diagonaux sont successivement $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, et $Q$ une matrice inversible de $M_n(\mathbb R)$ telle que $A=QDQ^{-1}$.
On se propose de résoudre l'équation $P(S)=A$, d'inconnue $S\in S_n^+$.
1. On suppose que l'équation $P(S)=A$ a une solution dans $S_n^+$.
Soit $S$ appartenant à $S_n^+$ telle que $P(S)=A$. On note $\Delta=Q^{-1}SQ$.
a. Montrer que $SA=AS$ et en déduire que $\Delta D=D\Delta$.
$S$ commute avec toutes ses puissances donc $SA=SP(S)=P(S)S=AS$. D'autre part comme $A=QDQ^{-1}\Longrightarrow Q^{-1}AQ=D$, on a : $$SA=AS\Longrightarrow Q^{-1}SAQ=Q^{-1}ASQ\Longrightarrow Q^{-1}SQQ^{-1}AQ=Q^{-1}AQQ^{-1}SQ\Longrightarrow \Delta D=D\Delta$$
b. Démontrer que $\Delta$ est diagonale et que les éléments diagonaux de $\Delta$ sont tous positifs ou nuls.
Notons $\Delta=(d_{ij})_{ij}$, on a que $\Delta D=(\lambda_jd_{ij})_{ij}$ et que $D\Delta=(\lambda_id_{ij})_{ij}$. Donc $D\Delta=\Delta D$ implique que pour tout $i,j$ $\lambda_jd_{ij}=\lambda_id_{ij}$, mais comme les $\lambda_i$ sont distincts, si $i\neq j$ alors $\lambda_jd_{ij}=\lambda_id_{ij}\Longrightarrow d_{ij}=0$ ce qui prouve que $D$ est diagonale. Enfin comme $\Delta=Q^{-1}SQ$, $\Delta$ est la diagonalisée de $S$ qui appartient à $S_n^+$, mais comme les valeurs propres de $S$ sont positives d'après II.2.a., les éléments diagonaux de $\Delta$ sont positifs.
2. Etablir que l'équation $P(S)=A$, d'inconnue $S\in S_n^+$, admet une solution et une seule, et que celle-ci est $Q\Delta Q^{-1}$, où $\Delta$ est une matrice diagonale que l'on exprimera à l'aide de $\widetilde P^{-1}(\lambda_1),\dots,\widetilde P^{-1}(\lambda_n)$, où $\widetilde P$ a été définie dans la partie II.
On considère $\Delta$ la matrice dont les éléments diagonaux sont $\widetilde P^{-1}(\lambda_1),\dots,\widetilde P^{-1}(\lambda_n)$, où $\widetilde P$, alors $P(\Delta)$ est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux son $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, c'est à dire $P(\Delta)=D$. Ensuite on a que $$A=QDQ^{-1}=QP(\Delta)Q^{-1}=P(Q\Delta Q^{-1})$$ donc $Q\Delta Q^{-1}$ est bien solution du problème. Enfin deux solutions du problème auront seront diagonalisable de matrice $\Delta$ par changement de base à l'aide de $Q$ donc deux telles solutions seront égales et l'unicité suit.
3. Exemple : On prend ici $n=4$, $P=X^3+X+1$ et $A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 & 0\\ -1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 21 & 10\\ 0 & 0 & 10 & 21\end{pmatrix}$
a. Vérifier que $P\in E$.
Clair!
b. Déterminer les valeurs propres de $A$ et montrer : $A\in S_4^+$.
Les valeurs propres sont 1, 3, 11, 31. La matrice est symétrique et ses valeurs propres sont positives donc d'après II.2.b. $A\in S_4^+$.
c. Déterminer une matrice diagonale $D$ et une matrice orthogonale $Q$ telles que $A=QDQ^{-1}$.
On prend $D$ la matrice diagonale composée dans l'ordre de 1, 3, 11 et 31 et on trouve pour $Q$ : $$Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$$
d. Résoudre l'équation $P(S)=A$, d'inconnue $S\in S_4^+$.
On a que $P(0)=1$, $P(1)=3$, $P(2)=11$ et $P(3)=31$. On a donc $\Delta$ qui est la matrice diagonale 0, 1, 2, 3 et dans ce cas $S=Q\Delta Q^{-1}$ donne $$S=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3 & -1 & 0 & 0\\ -1 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 7\end{pmatrix}$$
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