Cours et vidéos

Cours en ligne Vidéos classées

Concours corrigés

HECS
HECE

Programme de concours

HECS

Chaîne Youtube


Pour me soutenir



Autour du site

Auteur du site.
Cours particuliers.


Partie II. Inégalités stochastiques


Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur $(\Omega,{\cal A},P)$. On dit que $X$ est stochastiquement inférieur à $Y$ lorsque pour tout réel $x$, on a : $P([X\geq x])\leq P([Y\geq x])$.

7. Montrer que si les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ vérifient pour tout $\omega\in\Omega$ l'inégalité $X(\omega)\leq Y(\omega)$, alors $X$ est stochastiquement inférieur à $Y$.

Afficher

Puisque pour tout $\omega\in\Omega$ l'inégalité $X(\omega)\leq Y(\omega)$, on a $$X(\omega)\geq x\Longrightarrow Y(\omega)\geq x,$$ ce qui s'interpréte en terme d'inclusion : $$\{\omega\in\Omega/X(\omega)\geq x\}\subset \{\omega\in\Omega/Y(\omega)\geq x\}$$ donc par croissance de la mesure de probabilité $P([X\geq x])\leq P([Y\geq x])$, d'où le résultat.

8. On suppôse que $X$ suit la loi normale d'espérance égale à $-1$ et de variance égale à $1$, que $Y$ suit la loi normale d'espérance égale à $1$ et de variance $1$ et que $X$ et $Y$ sont indépendantes.

a) Exprimer $P([X\geq 0]\cap[Y<\! 0])$ à l'aide de la fonction de répartition $\Phi$ de la loi normale centrée réduite.

Afficher

Par indépendance : $$P([X\geq 0]\cap[Y<\! 0])=P([X\geq 0])P([Y<\! 0])$$ Or $X\sim{\cal N}(-1,1)$ donc $X+1\sim{\cal N}(0,1)$ et $Y\sim{\cal N}(1,1)$ donc $Y-1\sim{\cal N}(0,1)$. Il suit que : $$P([X\geq 0]\cap[Y<\! 0])=P([X+1\geq 1])P([Y-1<\! -1])=(1-\Phi(1))\Phi(-1)=(\Phi(-1))^2.$$

b) Montrer que $X$ est stochastiquement inférieur à $Y$.

Afficher

$P(X\geq x)=P(X+1\geq x+1)=1-\Phi(x+1)$ et $P(Y\geq x)=P(Y-1\geq x-1)=1-\Phi(x-1)$. Par croissance de $\Phi$, on a $\Phi(x-1)\leq\Phi(x+1)$ et donc $P(X\geq x)\leq P(Y\geq x)$. $X$ est donc stochastiquement inférieur à $Y$.

c) A-t-on pour tout $\omega\in\Omega$, l'inégalité $X(\omega)\leq Y(\omega)$?

Afficher

Si c'était le cas nous devrions avoir $P([X\geq 0]\cap[Y<\! 0])=0$, or ce n'est pas le cas d'après 8)a).

9. On suppose que $X$ et $Y$ sont discrètes à valeurs dans $\mathbb N$. Montrer que $X$ est stochastiquement inférieur à $Y$ si et seulement si, pour tout $k\in\mathbb N$, on a : $P([X\leq k])\geq P([Y\leq k])$.

Afficher

Supposons que $X$ est stochastiquement inférieur à Y et posons $k<\! x<\! k+1$. Alors comme $X$ et $Y$ sont discrètes on a $P(X\leq k)=P(X<\! x)$ et $P(Y\leq k)=P(Y<\! x)$ et donc comme $X$ est stochastiquement inférieur à $Y$, on a $$P(X\leq k)=P(X<\! x)=1-P(X\geq k)\geq 1-P(Y\geq k)=P(Y<\! x),$$ d'où la première implication.

Réciproquement, supposons que $\forall k\in\mathbb N, P([X\leq k])\geq P([Y\leq k])$. Soit $x\in\mathbb R$, on distingue deux cas de figure. Soit $x\in\mathbb Z$ et posons $x=k$ alors comme $X$ et $Y$ sont discrètes $$P(X\geq x)=P(X\geq k)=1-P(X<\! k)=1-P(X\leq k-1)\leq 1-P(Y\leq k-1)=1-P(X<\! k)=P(Y\geq k)=P(Y\geq x).$$ Donc on a bien $P(X\geq x)\leq P(Y\geq x)$. Supposons maintenant que $x\in\mathbb R\backslash \mathbb Z$ alors si on pose $k=[x]$, comme $X$ et $Y$ sont discrètes on a : $$P(X\geq x)=P(X>k)=1-P(X\leq k)\leq 1-P(Y\leq k)=P(Y>k)=P(Y\geq x).$$ Donc on a bien aussi $P(X\geq x)\leq P(Y\geq x)$. L'implication réciproque est donc démontrée.

10. Soit $\theta$ et $\lambda$ deux réels vérifiant $0<\! \theta<\! \lambda$, et soit $X$ et $Z$ deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement la loi de Poisson de paramètre $\theta$ et la loi de Poisson de paramètre $\lambda-\theta$.

a) Rappeler la loi de $X+Z$ en citant précisément le résultat de cours utilisé.

Afficher

$X$ et $Z$ étant des lois de Poisson indépendantes, on a : $$X+Z\sim{\cal P}(\theta+(\lambda-\theta))={\cal P}(\lambda).$$

b) Soit $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Montrer que $X$ est stochastiquement inférieur à $Y$.

Afficher

On observe que $[X+Z\leq k]\subset[X\leq k]$, par conséquent $P([X\leq k])\geq P([X+Z\leq k])$, mais d'après la question précédente $X+Z$ suit la même loi que $Y$ donc on a aussi $P([X\leq k])\geq P([Y\leq k])$ ce qui prouve le résultat d'après 9.

11. Pour tout $k\in\mathbb N$ et pour tout réel $t>0$, on pose : $F(t,k)=\sum_{j=0}^k\frac{t^j}{j!}e^{-t}$.

a) Ecrire en Pascal une fonction d'en-tête function suite (k : integer; t : real) : real ; qui permet de calculer $F(t,k)$.

b) Etablir pour tout $k\in\mathbb N$ et pour tout réel $\beta\in]0,1[$, l'existence d'un unique réel strictement positif $M(\beta,k)$ vérifiant l'égalité suivante : $F(M(\beta,k),k)=\beta$.

Afficher

Pour $k\in\mathbb N$ fixé, la fonction $t\maptso F(t,k)$ est continue, décroissante (on le prouve en dérivant par exemple) et vérifie $F(0,k)=1$ (ne pas oublier que $j=0$ est un cas spécial de la somme!) et $\lim_{t\to+\infty}F(t,k)=0$ (par croissance comparée). Donc par le théorème de la bijection, il existe bien un unique $M(\beta,k)$ vérifiant $F(M(\beta,k),k)=\beta$.

12. Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\mathbb N$ de fonction de répartition $G$.

On note $V$ et $W$ les deux application de $\Omega$ dans $[0,1]$, définies par : $\forall\omega\in\Omega,\ \begin{cases}V(\omega)=G(X(\omega)-1)\\ W(\omega)=G(X(\omega))\end{cases}$.

Soit $\alpha$ un réel vérifiant $0<\! \alpha<\! 1$.

a) Justifier l'existence de $L_{\alpha}=\min\{k\in\mathbb N;G(k)\geq \alpha\}$ et comparer les réels $\alpha,\ G(L_\alpha-1)$ et $G(L_\alpha)$.

Afficher

$\{k\in\mathbb N;G(k)\geq \alpha\}$ est un sous ensemble de $\mathbb Z$ minoré par $0$ donc admet un minimum. D'autre part, par défintion $L_\alpha$ est le plus petit entier $k$ vérifiant $G(k)\geq \alpha$ donc $G(L_\alpha)\geq\alpha>G(L_\alpha-1)$ donc $G(L_\alpha)>G(L_\alpha-1)$.

b) Montrer que $[W<\! \alpha]$ et $[V\geq \alpha]$ sont des évènements. Qu'en déduit-on pour les applications $V$ et $W$?

Afficher

On a par croissance de $G$ et définition de $L_\alpha$ que : $$[W<\! \alpha]=[G(X)<\! \alpha]=[X<\! L_\alpha].$$ $X$ étant une variable aléatoire, $[X<\! L_\alpha]\in{\cal A}$ et donc $[W<\! \alpha]$ est un évènement. De même toujours par croissance de $G$ : $$[V\geq\alpha]=[X-1\geq L_\alpha]\in{\cal A},$$ donc $[V\geq\alpha]$ est aussi un évènement.

On en déduit que $V$ et $W$ sont des variables aléatoires.

c) Exprimer $P([W<\! \alpha])$ et $P([V\geq \alpha])$ à l'aide de $G$ et $L_{\alpha}$.

Afficher

En reprenant la résolution de 12)b), on a : $$P([W<\! \alpha])=P([X<\! L_\alpha])=G(L_\alpha-1),$$ $$P([V\geq \alpha])=P([X-1\geq L_\alpha])=1-P(X<\! L_\alpha+1)=1-G(L_\alpha).$$

d) Soit $U$ une variable aléatoire à densité qui suit la loi uniforme sur le segment $[0,1]$. Montrer que $V$ est stochastiquement inférieur à $U$ et que $U$ est stochastiquement inférieur à $W$.

Afficher

Pour $x<\! 0$ on a $P(V\geq x)=P(U\geq x)=1$ et pour $x>1$ on a $P(V\geq x)=P(U\geq x)=0$, il nous reste donc à prouver que pour $x\in[0,1],\ P(V\geq x)\leq P(U\geq x)$. Or d'après 12)c) $P(V\geq x)=1-G(L_x)$. Mais par définition de $L_x$, on a $G(L_x)\geq x$ donc $$P(V\geq x)=1-G(L_x)\leq 1-x=P(U\geq x).$$ $V$ est donc bien stochastiquement inférieur à $U$.

13. Pour $n$ entier supérieur ou égal à 2, soit $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ un $n$-échantillon i.i.d (indépendant identiquement distribué) de la loi de Poisson de paramètre inconnu $\theta>0$. On pose pour tout $n\geq 2$ : $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.

Les notations $F$ et $M$ sont celles de la question 11.

a) Proposer un estimateur sans biais de $\theta$.

Afficher

$\frac{S_n}{n}$ est un estimateur sans biais de $\theta$ car : $$E\left(\frac{S_n}{n}\right)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nE(S_k)=\frac{n\theta}{n}=\theta.$$

b) Soit $\alpha$ un réel tel que $0<\! \alpha <\! 1$. A l'aide de la question 12, établir les deux inégalités suivantes : $$P\left(\left[F(n\theta,S_n)<\! \frac{\alpha}{2}\right]\right)\leq\frac{\alpha}{2}\text{ et }P\left(\left[F(n\theta,S_n-1)\geq 1-\frac{\alpha}{2}\right]\right)\leq\frac{\alpha}{2}$$

Afficher

$S_n$ est à valeur dans $\mathbb N$, pour $t$ donné $k\in\mathbb N\mapsto F(t,k)$ est la fonction de répartition d'une loi de Poisson, donc si on pose $\forall k\in \mathbb N,\ G(k)=F(n\theta,k)$ nous sommes dans les hypothèses de la question 12). On a alors que $W=F(n\theta,S_n)$ et par 12)c) $$P\left(\left[F(n\theta,S_n)<\! \frac{\alpha}{2}\right]\right)=P\left(W<\! \frac{\alpha}{2}\right)=G\left(L_{\alpha/2}-1\right)\leq\frac{\alpha}{2},$$ où la dernière inégalité provient de la définition de $L_\alpha$. D'autre part on a aussi que $F(n\theta,S_n-1)=V$ donc par 12)c) et définition de $L_\alpha$ : $$P\left(\left[F(n\theta,S_n-1)\geq 1-\frac{\alpha}{2}\right]\right)=P\left(V\geq 1-\frac{\alpha}{2}\right)=1-G(L_{\alpha/2})\leq\frac{\alpha}{2}.$$

c) On pose : $J(X_1,X_2,\dots,X_n)=\frac{1}{n}M\left(\frac{\alpha}{2},S_n\right)$ et $I(X_1,X_2,\dots,X_n)=\begin{cases}\frac{1}{n}M\left(1-\frac{\alpha}{2},S_n-1\right) & \text{ si } & S_n\geq 1\\ 0 & \text{ si } & S_n=0\end{cases}$. Déduire des questions précédentes que $I(X_1,X_2,\dots,X_n)$ et $J(X_1,X_2,\dots,X_n)$ sont les bornes d'un intervalle de confiance de risque inférieur ou égal à $\alpha$ pour le paramètre inconnu $\theta$.

Afficher

On doit prouver que $P("\theta\text{ est entre I et J}")\geq 1-\alpha$. On observe déjà que $$\{I\leq \theta\leq J\}\subset\{"\theta\text{ est entre I et J}"\},$$ donc $P(I\leq \theta\leq J)\leq P("\theta\text{ est entre I et J}")$. Pour prouver le résultat il suffit donc de prouver que $P(I\leq \theta\leq J)\geq 1-\alpha$ ce que nous allons faire. Observons maintenant que : $${\bf (\star)}:\ P(I\leq \theta\leq J)=1-P([\theta>J]\cup[\theta<\! I])\geq 1-P([\theta>J])-P([\theta<\! I]).$$ Or d'une part on a que $$[\theta>J]=\left[n\theta>M\left(\frac{\alpha}{2},S_n\right)\right]=\left[F(n\theta,S_n)<\! \frac{\alpha}{2}\right],$$ où la dernière inégalité provient de la définition de $M$ et de la stricte décroissance de $F$ en sa première variable. Il suit donc d'après 13)b) que : $${\bf (1)}:\ P(\theta>J)=P\left(F(n\theta,S_n)<\! \frac{\alpha}{2}\right)\leq\frac{\alpha}{2}.$$ D'autre part, par définition de $I$, on a aussi que : $$P(\theta<\! I)=P_{[S_n=0]}(\theta<\! 0)P(S_n=0)+P_{[S_n>1]}\left(n\theta<\! M\left(1-\frac{\alpha}{2},S_n-1\right)\right)P(S_n>1).$$ Mais comme $\theta>0$ ceci donne $$\begin{align} P(\theta<\! I)&=P_{[S_n>1]}\left(n\theta<\! M\left(1-\frac{\alpha}{2},S_n-1\right)\right)P(S_n>1)\\ &=P\left(\left[n\theta<\! M\left(1-\frac{\alpha}{2},S_n-1\right)\right]\cap[S_n>1]\right)\\ &\leq P\left(\left[n\theta<\! M\left(1-\frac{\alpha}{2},S_n-1\right)\right]\right). \end{align}$$ Toujours par définition de $M$ et stricte décroissance de $F$ en sa première variable, on a : $$\left[n\theta<\! M\left(1-\frac{\alpha}{2},S_n-1\right)\right]=\left[F(n\theta,S_n-1)\geq 1-\frac{\alpha}{2}\right],$$ donc la question 13)b) nous donne : $${\bf (2)}:\ P(\theta<\! I)\leq P\left(n\theta<\! M\left(1-\frac{\alpha}{2},S_n-1\right)\right)=P\left(F(n\theta,S_n-1)\geq 1-\frac{\alpha}{2}\right)\leq\frac{\alpha}{2}.$$ Le résultat que nous cherchions à prouver suit en injectant (1) et (2) dans $(\star)$.

Pour afficher le fil des commentaires : Commentaires.


Pour poster un commentaire ou obtenir de l'aide : c'est ici!




Formulaire

L'insertion de formules suit la syntaxe LATEX. Toute formule doit être encadrée par des dollars : $\bf{\$formule\$}$. Par exemple $\bf{\$ u\_n \$}$ sera interprétée comme une formule et donnera $\bf{u_n}$. Voici quelques exemples pour ceux qui ne sont pas habitués :

Contacter l'auteur du site : frederic.millet @ math-sup.fr