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Corrigé ECRICOME 2010

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Remarques

Il s'agit d'un petit exercice standard sans trop de surprise. Un bon entrainement pour les concours!


ECRICOME 2010

Exercice 1

Pour tout entier $n\geq 1$, on considère les intégrales : $$u_n=\int_0^1\frac{dt}{1+t+t^2+...+t^{n-1}}\ \ et\ \ v_n=\int_0^1\frac{u^{1/n}-u^{2/n}}{1-u}du.$$

1. Convergence de la suite $(u_n)_{n\geq 1}$.

(a) Vérifier que : $$\forall n\geq 1,\ \forall t\in[0,1[,\ \frac{1}{1+t+t^2+\dots+t^{n-1}}-(1-t)=\frac{(1-t)t^n}{1-t^n}.$$

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On observera que le dénominateur du terme de gauche est une somme géométrique dont on a une formule pour t différent de 1.

En déduire que : $\forall n\geq 1,\ 0\leq u_n-\frac{1}{2}\leq\frac{1}{n+1}.$

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Intégrer l'égalité utiliser le fait que sur [0,1[, $\frac{1-t}{1-t^n}\leq 1.$

Quelle est la limite de la suite $(u_n)_{n\geq 1}$?

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1/2 par le théorème des gendarmes.

(b) En utilisant le changement de variable $u=t^n$, établir que : $$\forall n\geq 1, u_n-\frac{1}{2}=\frac{v_n}{n}.$$

2. Résultats intermédiaires.

(a) Pour tout entier $k\geq 1$, calculer la limite suivante : $\lim_{x\to 1}\frac{(\ln(x))^k}{x-1}.$

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On peut par exemple faire un changement de variable $X=x-1$ pour faire apparaitre $\ln(1+X)$ dont on connait un DL en 0. On peut aussi faire un DL de $\ln$ en 1. On trouvera alors que la limite est nulle si k>1, et vaut 1 si k=1.

(b) Soit k un entier naturel non nul. Prouver la convergence de l'intégrale $\int_0^1\frac{(\ln(x))^k}{x-1}dx.$

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D'après (a) la fonction se prolonge par continuité en 1. En 0 on pourra par exemple prouver la convergence absolue en montrant que $\ln(x)=o\left(\frac{1}{x^{1/2k}}\right)$.

(c) On introduit la fonction f définie sur $\mathbb R$ par : $\forall x\in\mathbb R,\ f(x)=e^x-e^{2x}.$

A l'aide de l'inégalité de Taylor Lagrange en 0 à l'ordre 1 appliquée à la fonction f, montrer que : $$\forall x\in]-\infty,0],\ |e^x-e^{2x}+x|\leq\frac{3x^2}{2}.$$

3. Application

(a) En utilisant la question 2, démontrer que : $$\forall n\geq 1,\ \left|v_n+\frac{1}{n}\int_0^1\frac{\ln(u)}{1-u}du\right|\leq\frac{3}{2n^2}\int_0^1\frac{(\ln(u))^2}{1-u}du.$$

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On remplacera $v_n$ par sa définition dans la valeur absolue, puis on utilisera la linéarité des intégrales convergentes. Enfin on mettra $u^{1/n}$ et $u^{2/n}$ sous forme exponentielle pour faire apparaitre l'expression de 2.(c).

(b) On considère l'intégrale $I=\int_0^1\frac{\ln(u)}{1-u}$ que l'on ne cherchera pas à calculer.

Donner alors un équivalent de $v_n$ puis un équivalent de $u_n-\frac{1}{2}$ en fonction de I.

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D'après (a) on montre facilement que $u_n\sim I/n$ et d'après 1.(b) on montre facilement que $u_n\sim 1/2+I/n^2.$

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Formulaire

L'insertion de formules suit la syntaxe LATEX. Toute formule doit être encadrée par des dollars : $\bf{\$formule\$}$. Par exemple $\bf{\$ u\_n \$}$ sera interprétée comme une formule et donnera $\bf{u_n}$. Voici quelques exemples pour ceux qui ne sont pas habitués :

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