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PROBLEME


La partie I consiste à justifier que les variables $Y_n=\max(X_1,\dots,X_n)$ et $Z_n=\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{i}$ possèdent la même loi lorsque $(X_1,\dots,X_n)$ est une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi exponentielle de paramètre 1.

La partie II a pour objectif d'établir que, pour chaque variable aléatoire $X$ possédant une densité $f$ avec $f$ continue sur $\mathbb R_+$ et $f$ nulle sur $\mathbb R^*_-$, il n'existe aucune variable aléatoire $Y$ à densité dérivable $g$ sur $\mathbb R^*$, nulle que $\mathbb R^*_-$ et vérifiant $g-g'=f$.

La partie III consistera à étudier les valeurs propres et vecteurs propres de l'application linéaire introduite à la partie II.

Les parties I, II et III sont largement indépendantes.

PARTIE I. Etude des variables $Y_n$ et $Z_n$.

Toutes les variables aléatoires considérées ici sont définies sur un même espace probabilisé $(\Omega,{\cal A},P)$.

Soit $X$ une variable aléatoire, rappelons que :

On considère une suite $(X_n)_{n\in\mathbb N^*}$ de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi exponentielle de paramètre 1. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $Y_n$ et $Z_n$ les deux variables aléatoires définies respectivement par : $$Y_n=\max(X_1,X_2,\dots,X_n)=\max_{1\leq i\leq n}X_i,$$ $$Z_n=\frac{X_1}{1}+\frac{X_2}{2}+\dots+\frac{X_n}{n}=\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{i},$$ où $\max(X_1,\dots,X_n)$ désigne le maximum des valeurs de $X_1,\dots,X_n$.

Pour finir, on désigne par $f_n$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par : $$ \begin{cases} & f_n(t)=0\text{ si }t<\!0\\ & f_n(t)=n\exp(-t)(1-\exp(-t))^{n-1}\text{ si }t\geq 0. \end{cases} $$

On considère un tableau $X$ de nombres réels de taille 2011 (c'est-à-dire $X=array[1\dots2011]\ of\ real$) préalablement rempli.

(a) Ecrire un programme Pascal calculant et affichant les réels : $$\max(X[1],X[2])\text{ et }\max(X[1],X[2],X[3]).$$

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Pour le premier max :

begin
if X[1]>X[2] then
	writeln(X[1])
else
	writeln(X[2])
end.

Pour le second max :

var m : real;
begin
m:=X[1];
if X[2]>X[1] then m:=X[2]
if X[3]>m then m:=X[3]
writeln(m);
end.

(b) Ecrire un programme en Pascal calculant et affichant le réel : $$\max(X[1],X[2],\dots,X[2011])=\max_{1\leq i\leq 2011}(X[i]).$$

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var m : real;
var i : integer;
begin
m:=X[1];
for i:=2 to 2011
	begin
	if X[i]>m then m:=X[i]
	end
writeln(m);
end.

2. (a) Pour tout réel $t$, exprimer le réel $F_{Y_n}(t)$ à l'aide des réels $F_{X_1}(t),\dots,F_{X_n}(t)$.

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$$\begin{align} F_{Y_n}(t)&=P(\max_iX[i]\leq t)\\ &=P((X[1]\leq t)\cap\dots\cap (X[2011]\leq t))\\ &=P(X[1]\leq t)\dots P(X[2011]\leq t)\text{ par indépendance des }$X_i$\\ &=F_{X_1}(t)\dots F_{X_n}(t) \end{align} $$

(b) Pour tout réel $t$, donner alors l'expression de $F_{Y_n}(t)$ en fonction de $n$ et $t$ en distinguant le cas $t<\! 0$ et le cas $t\geq 0$.

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Comme tous les $X_i$ suivent la même loi que $X$, on a : $$F_X(t)= \begin{cases} & 0\text{ si }t\leq 0\\ & (1-e^{-at})^{n}\text{ si }t\geq 0. \end{cases}$$

(c) Vérifier alors que la fonction $f_n$ est une densité de probabilité de la variable aléatoire $Y_n$.

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Il suffit d'observer que $f_n$ est la dérivée de $F_{y_n}$.

3. (a) Préciser la fonction de répartition de la variable aléatoire $\frac{X_{n+1}}{n+1}$.

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On trouve $$\begin{cases} & 0\text{ si }t\leq 0\\ & 1-e^{-a(n+1)t}\text{ si }t\geq 0. \end{cases}$$

(b) Démontre que $\frac{X_{n+1}}{n+1}$ est une variable aléatoire à densité et proposer une densité $d_{n+1}$.

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La fonction de répartition trouvée dans la question précédente est continue et dérivable sur $\mathbb R^*_+$ et $\mathbb R^*_-$ donc $\frac{X_{n+1}}{n+1}$ admet une densité qui est $$d_{n+1}(t)= \begin{cases} & 0\text{ si }t\leq 0\\ & a(n+1)e^{-a(n+1)t}\text{ si }t\geq 0. \end{cases}$$

4. Pour tout réel $x$, vérifier que : $\int_0^xn\exp(nt)(1-\exp(-t))^{n-1}dt=(\exp(x)-1)^n$.

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On observera que : $$n\exp(nt)(1-\exp(-t))^{n-1}=n\exp(t)\exp((n-1)t)(1-\exp(-t))^{n-1}=n\exp(t)(\exp(t)-1)^{n-1}$$ et une primitive de cette fonction est $(\exp(x)-1)^n$.

5. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $Z_n$ est une variable aléatoire à densité dont $f_n$ est une densité. Indication : Pour l'hérédité, on remarquera que $Z_{n+1}=Z_n+\frac{X_{n+1}}{n+1}$.

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Pour l'hérédité on pensera au produit de convolution sachant que $Z_n$ et $X_{n+1}$ sont indépendantes.

PARTIE II. Existence et unicité de la solution d'une équation différentielle.

On désigne par $E$ l'ensemble des fonctions $f$ continues de $[0,+\infty[$ dans $\mathbb R$ telles que l'intégrale $\int_0^{+\infty}|f(t)|dt$ converge. On admet que $E$ est un $\mathbb R$-espace vectoriel. Pour tout fonction $f$ appartenant à $E$, on considère l'équation différentielle $$({\cal D}_f):y-y'=f$$ dont l'inconnue est la fonction $y:\mathbb R_+\to\mathbb R$ qui est dérivable sur $\mathbb R_+$. On fixe dans cette partie une fonction $f$ appartenant à $E$. Pour tout réel positif $x$, on note : $$k_f(x)=\exp(x)\int_x^{+\infty}\exp(-t)f(t)dt.$$

Soient $\varphi,\psi$ deux fonctions appartenant à $E$, dérivables sur $\mathbb R_+$ et vérifiant l'équation $({\cal D}_f)$. On introduit la fonction $h$ définie sur $\mathbb R_+$ par : $$\forall x\in\mathbb R_+,\ h(x)=(\varphi(x)-\psi(x))\exp(-x).$$

(a) prouver que la fonction $h$ est constante sur $\mathbb R_+$.

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On montrera que la dérivée de $h$ est nulle et pour se faire, on n'oubliera pas que $\varphi$ et $\psi$ sont solution d'une équation différentielle.

(b) En utilisant le fait que la fonction $\varphi-\psi$ appartient à $E$, montrer que $\varphi=\psi$.

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D'après la question précédente, on déduit que $\varphi-\psi$ est constante. Or si cette constante est non-nulle $\int_0^{+\infty}|\varphi-\psi|(t)dt=+\infty$ ce qui contredit le fait que $\varphi-\psi$ est dans $E$. Il suit que la constante ne peut-être que nulle, c'est à dire $\varphi=\psi$.

Nous avons ainsi établi qu'il existe au plus une solution dans $E$ à l'équation $({\cal D})_f$ lorsque $f\in E$.

2. Pour tout réel positif $x$, justifier la convergence de l'intégrale $\int_x^{+\infty}\exp(-t)f(t)dt$.

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Pour tout $t\geq 0$, $|e^{-t}f(t)|\leq|f(t)|$. Or par hypothèse $\int_0^{+\infty}|f(t)|dt$ converge, donc $\int_x^{+\infty}|f(t)|dt$ converge aussi pour $x\geq 0$ et donc par comparaison $\int_x^{+\infty}|e^{-t}f(t)|dt$ converge également. Enfin la convergence absolue implique la convergence, ce qui prouve le résultat.

3. Etablir que la fonction $k_f:x\mapsto \exp(x)\int_x^{+\infty}\exp(-t)f(t)dt$ est dérivable sur $\mathbb R_+$ et que : $$\forall x\in\mathbb R_+,\ k_f(x)-k'_f(x)=f(x).$$

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Grâce à la relation de Chasles, on a que : $$k_f(x)=e^x\int_0^{+\infty}\exp(-t)f(t)dt+e^{x}\int_0^x\exp(-t)f(t)dt,$$ et on se souviendra que $\int_0^x\exp(-t)f(t)dt$ est dérivable car $\exp(-t)f(t)$ est continue et que sa dérivée est $\exp(-x)f(x)$.

4. On suppose uniquement dans cette question que $f$ est à valeurs dans $\mathbb R_+$ c'est-à-dire que : $$\forall x\in\mathbb R_+,\ f(x)\geq 0.$$

(a) Vérifier les relations suivantes : $$(\alpha):\ \forall x\in\mathbb R_+,\ 0\leq k_f(x)\leq\int_x^{+\infty}f(t)dt,$$ $$(\beta):\ \forall A\in\mathbb R_+,\ \int_0^Ak_f(x)dx=k_f(A)-k_f(0)+\int_0^Af(x)dx.$$

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Pour $(\alpha)$, on observe que pour tout $t\geq x\geq 0$ : $$0\leq e^{-t}f(t)\leq f(t),$$ puis on intègre cette inégalité entre $x$ et $+\infty$.

Pour établir $(\beta)$, on utilisera le résultat de la question précédente $k_f=k_f'+f$ et on remplacera $k_f$ par $k_f'+f$ sous l'intégrale.

(b) Prouver que l'intégrale $\int_0^{+\infty}k_f(x)dx$ converge et que : $$\int_0^{+\infty}k_f(x)dx=\int_0^{+\infty}(1-\exp(-x))f(x)dx.$$

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$\int_0^{+\infty}f(t)dt$ converge donc $\lim_{x\to+\infty}\int_x^{+\infty}f(t)dt=0$ et d'après $(\alpha)$, $\lim_{x\to+\infty}k_f(x)=0$. De plus $\int_0^{+\infty}f(t)dt$ converge et la limite suivante existe $\lim_{A\to+\infty}\int_0^{A}f(t)dt$. Il suit d'après $(\beta)$ que $\int_0^{+\infty}k_f(t)dt$ converge. Enfin pour conclure, il suffit de réécrire $k_f(0)$ sous forme d'intégrale et d'utiliser la linéarité des intégrales convergentes.

On revient au cas général où $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ prend des valeurs non nécessairement positives.

Montrer que l'intégrale $\int_0^{+\infty}|k_f(x)|dx$ converge.

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On observe grâce à l'inégalité triangulaire que $$|k_f(x)|=\left|\exp(x)\int_x^{+\infty}\exp(-t)f(t)dt\right|\leq\exp(x)\int_x^{+\infty}\exp(-t)|f|(t)dt=k_{|f|}(t).$$ Or d'après l'étude précédente $\int_0^{+\infty}k_{|f|}(t)dt$ converge donc par comparaison $\int_0^{+\infty}|k_{f}(t)|dt$ converge aussi.

6. Soit $X$ une variable aléatoire possédant une densité $f$ avec $f$ continue sur $\mathbb R_+$ et $f$ nulle sur $\mathbb R^*_-$.

Justifier qu'il n'existe aucune densité $g$ dérivable sur $\mathbb R^*$, nulle sur $\mathbb R^*_-$ et vérifiant $g-g'=f$ sur $\mathbb R_+$.

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Si $g$ existe, comme $f$ est positive, d'après 5.(b) $g=k_f$ doit vérifier $$\int_0^{+\infty}g(x)dx=\int_0^{+\infty}(1-\exp(-x))f(x)dx.$$ Or $\int_0^{+\infty}(1-\exp(-x))f(x)dx<\int_0^{+\infty}f(x)dx=1$ donc $\int_0^{+\infty}g(x)dx<\!1$ et comme $g$ est nulle sur $\mathbb R_-$, $\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dx<\!1$ ce qui contredit le fait que $g$ soit une densité.

PARTIE III. Etude de l'application $f\mapsto k_f$.

A la partie II, on a établi que si $f$ appartient à $E$, il existe une unique fonction $$k_f:x\mapsto\exp(x)\int_x^{\infty}\exp(-t)f(t)dt$$ appartenant à $E$ telle que : $$k_f-k'_f=f.$$

On considère l'application $\varphi$ définie sur $E$ par : $$\forall f\in E,\ \varphi(f)=k_f.$$

1. Etablir que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.

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La linéarité découle de la linéarité des intégrales convergentes. Pour le caractère endo, $k_f$ appartient à $E$ d'après l'éononcé.

Définition : On dit que le réel $\lambda$ est valeur propre de $\varphi$ s'il existe une fonction $f$ de $E$ non identiquement nulle telle que $\varphi(f)=\lambda f$. On dit que $f$ est un vecteur propre de $\varphi$ associé à la valeur propre $\lambda$ et on appelle sous-espace propre de $\varphi$ associé à $\lambda$ l'espace vectoriel $$E_\lambda(\varphi)=\{f\in E\text{ telle que }\varphi(f)=\lambda f\}.$$

La suite de cette partie est consacrée à la détermination des valeurs propres et des vecteurs propres de $\varphi$.

2. Pour tout réel $a>0$, on considère la fonction $f_a$ définie sur $\mathbb R_+$ par : $$\forall x\in\mathbb R_+,\ f_a(x)=\exp(-ax).$$ Vérifier que $f_a$ appartient à $E$, que $f_a$ est un vecteur propre de $\varphi$ et préciser la valeur propre associée.

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$f_a$ est continue que $\mathbb R_+$ et $\int_0^A|f_a(t)|dt=\frac{-1}{a}(e^{-aA}-1)$ a une limite à l'infini donc $\int_0^{+\infty}|f_a(t)|dt$ converge et $f_a$ est dans $E$. Maintenant : $$\begin{align} \varphi(f_a)(x)&=\exp(x)\int_x^{+\infty}\exp(-t)f_a(t)dt\\ &=\exp(x)\left(\int_0^{+\infty}\exp(-t)f_a(t)dt-\int_0^{x}\exp(-t)f_a(t)dt\right)\\ &=\exp(x)\frac{1}{a+1}\exp(-(a+1)x)\\ &=\frac{1}{a+1}f_a(x). \end{align}$$ Donc $f_a$ est vecteur propre de valeur propre $\frac{1}{a+1}.$

3. Soit $\lambda$ une valeur propre de $\varphi$ et $f\in E$ un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$.

(a) Montrer que $\lambda$ est nécessairement non nul.

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Si $f$ est un vecteur propre de valeur propre nulle, alors $f$ est une fonction non nulle et $\varphi(f)=0.f=0$. Or $\varphi(f)$ est solution de l'équation différentielle $\varphi(f)-\varphi(f)'=f$, soit $0=f$ ce qui contredit que $f$ est une fonction non-nulle. Donc une valeur propre est forcément non nulle.

(b) Etablir que $f$ est dérivable et vérifie l'équation différentielle : $f'=\left(1-\frac{1}{\lambda}\right)f$.

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Comme $\lambda$ est non nul, $f=\frac{1}{\lambda}\varphi(f)$, or $\varphi(f)$ est dérivable donc $f$ aussi. D'autre part $\varphi(f)'=\lambda f'$ donc comme $\varphi(f)$ est solution de $y-y'=f$ on trouve $\lambda f-\lambda f'=f$ ce qui prouve le résultat.

(c) Pour tout réel positif $x$, donner l'expression de $f(x)$ en fonction de $\lambda$, $x$ et d'une certaine constante.

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Les solutions de l'équation différentielle établie en (b) donne $f(x)=C\exp\left(\left(1-\frac{1}{\lambda}\right)x\right)$.

(d) Montrer que $\lambda\in]0,1[$.

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Comme $f$ est dans $E$, il faut que $\int_0^{+\infty}|f(t)|dt$ converge et ceci à lieu lorsque $1-\frac{1}{\lambda}<\! 0$ ce qui est équivalent à $\lambda\in]0,1[$.

4. Préciser l'ensemble $Sp(\varphi)$ des valeurs propres de $\varphi$ et, pour chaque valeur propre $\lambda$ de $\varphi$, proposer une base de l'espace propre $E_\lambda(\varphi)$.

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Grâce aux questions (c) et (d) on déduit que $SP(\varphi)=]0,1[$ et que $E_\lambda=Vect\left\lbrace x\mapsto \exp\left(\left(1-\frac{1}{\lambda}\right)x\right)\right\rbrace$.

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