Cours et vidéos

Cours en ligne Vidéos classées

Concours corrigés

HECS
HECE

Programme de concours

HECS

Chaîne Youtube


Pour me soutenir



Autour du site

Auteur du site.
Cours particuliers.

Corrigé EMLyon 2014


Problème 1


On note $E$ le $\mathbb R$-espace vectoriel des applications de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ continues, $E_1$ le $\mathbb R$-espace vectoriel des applications de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ de classe $C^1$. On remarquera que $E_1$ est inclus dans $E$.

On note, pour tout élément $f$ de $E$, $T(f)$ l'application de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ définie, pour tout $x\in\mathbb R$, par : $$T(f)(x)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{x+1}f(t)dt.$$


Partie I : Propriétés générales de $T$


1. Etablir que, pour tout élément $f$ de $E$, $T(f)$ appartient à $E_1$ et que , pour tout $x\in\mathbb R$ : $$(T(f))'(x)=\frac{1}{2}\left(f(x+1)-f(x-1)\right).$$

Afficher

Références programme : V-4.

$f$ étant continue sur $\mathbb R$, elle admet une primitive, notons là $F$, qui est de classe $C^1$ sur $\mathbb R$. On a alors : $$T(f)(x)=\left[\frac{1}{2}F(t)\right]_{x-1}^{x+1}=\frac{1}{2}\left(F(x+1)-F(x-1)\right).$$ Par composition $T(f)$ est donc $C^1$ sur $\mathbb R$, c'est à dire appartient à $E_1$.

Enfin en dérivant, on a $$(T(f))'(x)=\frac{1}{2}\left(F'(x+1)-F'(x-1)\right)=\frac{1}{2}\left(f(x+1)-f(x-1)\right).$$

On note $T:E\longrightarrow E$ l'application qui, à $f$, associe $T(f)$.

2. Montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$.

Afficher

Références programme : II-7, V-4.

D'après 1. $\forall f\in E,\ T(f)\in E_1$, or $E_1\subset E$ donc $T(f)\in E$. Il suit que $T$ est bien une application de $E$ dans $E$.

La caractère linéaire est une conséquence immédiate de la linéarité des intégrales.

3. Est-ce que $T$ est surjectif?

Afficher

Références programme : I-4, V-4.

D'après 1. $T(E)\subset E_1$. Or $E_1\neq E$ donc $T$ n'est pas surjectif.

4. Soit $f\in E$. Montrer que, si $f$ est paire (respectivement impaire), alors $T(f)$ est paire (respectivement impaire).

A cet effet, on pourra utiliser le changement de variable $u=-t$ dans une intégrale.

Afficher

Références programme : V-4.

Je ne fais la preuve que dans le cas paire, le cas impaire étant semblable. Par changement de variable $u=-t$, on a : $$\begin{align} T(f)(-x)&=\int_{-x-1}^{-x+1}f(t)dt\\ &=-\int_{x+1}^{x-1}f(-u)du\\ &=-\int_{x+1}^{x-1}f(u)du\text{ (par parité)}\\ &=\int^{x+1}_{x-1}f(u)du\text{ (par inversion des bornes)}\\ &=T(f)(x)\text{ (par définition!)} \end{align},$$ d'où la parité de $T(f)$.

5. Soit $f\in E$. Montrer que, si l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt$ converge, alors $T(f)(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et lorsque $x$ tend vers $-\infty$.

Afficher

Références programme : V-4,6.

Je fais la preuve pour $+\infty$, l'autre cas étant similaire. On observe déjà que comme $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt$ converge alors $\int_{0}^{+\infty}f(t)dt$ converge. D'autre part, on a que $$T(f)(x)=\frac{1}{2}\left(\int_0^{x+1}f(t)dt-\int_{0}^{x-1}f(t)dt\right),$$ donc en passant à la limite $$\lim_{x\to+\infty}T(f)(x)=\frac{1}{2}\left(\int_0^{+\infty}f(t)dt-\int_{0}^{+\infty}f(t)dt\right)=0,$$ d'où le résultat.

6. On note $s:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ l'application qui, à tout $t\in\mathbb R$, associe $s(t)=\sin(\pi t)$. Calculer $T(s)$. Est-ce que $T$ est injectif?

Afficher

Références programme : II-7; V-4.

On a : $$T(s)(x)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{x+1}\sin(\pi t)dt=\frac{1}{2\pi}\left[-\cos(\pi t)\right]_{x-1}^{x+1}=\frac{1}{2\pi}\left(-\cos(\pi x-\pi)+\cos(\pi x+\pi)\right)=\frac{1}{2\pi}\left(\cos(\pi x)-\cos(\pi x)\right)=0,$$ donc $T(s)=0$.

$s$ est un élément non nul dans le noyau de $T$, donc $Ker(T)\neq\{0\}$ et par conséquent $T$ n'est pas injectif.


Partie II : Premier exemple


On note, pour tout $a\in\mathbb R$ : $f_a:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R,\ t\mapsto f_a(t)=e^{at}$.

7. Calculer, pour tout $a\in\mathbb R$ et tout $x\in\mathbb R$, $T(f_a)(x).$

Afficher

Références programme : V-4.

On a pour $a\neq 0$ : $$T(f_a)(x)=\frac{1}{2a}\left(e^{a(x+1)}-e^{a(x-1)}\right)=\frac{e^{a}-e^{-a}}{2a}e^{ax}.$$ Si maintenant $a=0$, on a : $$T(f_0)(x)=T(1)(x)=1.$$

On note : $\varphi:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R,\ a\mapsto\varphi(a)=\begin{cases}\frac{e^a-e^{-a}}{2a} & \text{ si } & a\neq 0\\ 1 & \text{ si } & a= 0\end{cases}$

8. Etablir : $\forall a\in\mathbb R,\ T(f_a)=\varphi(a)f_a$.

Afficher

Références programme : aucune.

C'est une simple réécriture de la réponse à la question 7.

9. Montrer que $\varphi$ est dérivable sur $\mathbb R$ et calculer, pour tout $a\in\mathbb R$, $\varphi'(a)$.
Etudier, selon $a\in\mathbb R$, le signe de $e^a(a-1)+e^{-a}(a+1)$.
En déduire les variations de $\varphi$ et tracer l'allure de sa représentation graphique.

Afficher

Références programme : V-3,9.

$\varphi$ est clairement dérivable sur $\mathbb R^*$ de dérivée : $$\forall a\in\mathbb R^*,\ \varphi'(a)=\frac{e^a(a-1)+e^{-a}(a+1)}{2a^2}.$$

En 0, on étudie la limite du taux d'accroissement : $$\begin{align} \frac{\varphi(a)-\varphi(0)}{a}&=\frac{\frac{e^a-e^{-a}}{2a}-1}{a}\\ &=\frac{e^a-e^{-a}-2a}{2a^2}\\ &=\frac{1+a+\frac{a^2}{2}-(1-a+\frac{a^2}{2})-2a+o(a^2)}{2a^2}\text{ (par DL d'ordre 2)}\\ &=\frac{o(1)}{2}\\ &\overset{a\to 0}{\longrightarrow}0, \end{align}$$ Il suit que $\varphi$ est dérivable en 0 de dérivée $\varphi'(0)=0$.

Signe de $e^a(a-1)+e^{-a}(a+1)$ : En dérivant en la variable $a$, on a : $$(e^a(a-1)+e^{-a}(a+1))'=a(e^a-e^{-a})=2a\text{sh}(a),$$ et cette dernière expression est toujours positive sur $\mathbb R^*$. Il suit que la fonction $a\mapsto e^a(a-1)+e^{-a}(a+1)$ est croissante sur $\mathbb R^*$. On observe de plus que cette fonction s'annulle en 0, par conséquent cette fonction est négative sur $\mathbb R^-$ et positive sur $\mathbb R^+$.

Etude de $\varphi$ : $\varphi'$ est du signe de $e^a(a-1)+e^{-a}(a+1)$ donc $\varphi$ est décroissante sur $\mathbb R^-$ et croissante sur $\mathbb R^+$ et admet un minimum en $a=0$ qui vaut $\varphi(0)=1$. Je vous laisse faire un beau dessin!!

10. En déduire que, pour tout $\lambda\in[1,+\infty[$, il existe $f\in E-\{0\}$ tel que : $T(f)=\lambda f$.

Afficher

Références programme : I-4.

Grâce au beau dessin de la question 9., on peut affirmer que $\varphi(\mathbb R)=[1,+\infty[$, donc pour tout $\lambda\in[1,+\infty[$, il existe $a\in\mathbb R$ tel que $\varphi(a)=\lambda$ et donc d'après 8. on en déduit que pour ce choix de $a$ $$T(f_a)=\lambda f_a.$$ $f_a$ étant une fonction non nulle de $E$, la question est résolue.


Partie III : Deuxième exemple


On note : $h:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R,\ t\mapsto h(t)=\frac{1}{|t|+1}$.

11. Vérifier $h\in E$ et calculer, pour tout $x\in\mathbb R$, $T(h)(x)$.
A cet effet, on remarquera que $h$ est paire, et on distinguera les cas $0\leq x\leq 1$ et $1<\! x$.

Afficher

Références programme : V-2,4.

L'application $t\mapsto 1+|t|$ est continue sur $\mathbb R$ et ne s'annulle pas donc par quotient $h$ est continue sur $\mathbb R$ et appartient donc à $E$.

Pour $0\leq x\leq 1$, on a que $x-1\leq 0$ et $x+1\geq 0$ donc $$\begin{align} T(h)(x)&=\int_{x-1}^0\frac{1}{1+|t|}dt+\int_0^{x+1}\frac{1}{1+|t|}dt\\ &=\int_{x-1}^0\frac{1}{1-t}dt+\int_0^{x+1}\frac{1}{1+t}dt\\ &=\left[-\ln(1-t)\right]_{x-1}^0+\left[\ln(1+t)\right]^{x+1}_0\\ &=\ln(2-x)+\ln(x+2). \end{align}$$

Pour $x>1$, on a $x+1\geq 0$ donc $$T(h)(x)=\int_{x-1}^{x+1}\frac{1}{1+t}dt=\left[\ln(t+1)\right]_{x-1}^{x+1}=\ln(x+2)-\ln(x).$$

En résumé, sur $\mathbb R^+$ on a $$T(h)(x)=\begin{cases} \ln(2-x)+\ln(x+2) & \text{ si }0\leq x\leq 1\\ \ln(x+2)-\ln(x) & \text{ si }x>1. \end{cases}$$ D'autre part comme $h$ est paire, d'après 4. $T(h)$ est également paire et donc sur $\mathbb R$ on a : $$T(h)(x)=\begin{cases} \ln(2-x)+\ln(x+2) & \text{ si }-1\leq x\leq 1\\ \ln(x+2)-\ln(x) & \text{ si }x>1\\ \ln(-x+2)-\ln(-x) & \text{ si }x<\!-1. \end{cases}$$

12. Etudier les variations de $T(h)$ et tracer l'allure de sa représentation graphique.
On précisera les tangentes aux points d'abscisses 0 et 1. On donne $\ln 2\simeq 0,69..., \ln 3\simeq 1,10...$

Afficher

Références programme : V-2,9.

En dérivant et en faisant une étude de fonction, on trouve que $T(h)$ est croissante sur $\mathbb R^-$ et dévraoissante sur $\mathbb R^+$ (je vous laisse gérer les détails!). Pour la tangente en $0$, comme $T(h)$ est paire, sa dérivée en $0$ est nulle, donc nous avons une tangente horizontale. Pour la tangeante en $1$, il faut calculer la dérivée en $1$. Pour la trouver on peut par exemple calculer la limite à droite du taux d'accroissement en 1 (on peut aussi le faire à gauche, le résultat sera le même puisque la fonction est dérivable), c'est à dire calculer : $$\lim_{x\to 1^+}\frac{T(h)(x)-T(h)(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{\ln(x+2)-\ln(x)-\ln(3)}{x-1}$$ Or en faisant un DL d'ordre 1 en 1, on a : $$\ln(x+2)=\ln(3)+\frac{1}{3}(x-1)+o(x-1).$$ $$\ln(x)=(x-1)+o(x-1).$$ Par conséquent : $$\frac{\ln(x+2)-\ln(x)-\ln(3)}{x-1}=\frac{\frac{2}{3}(x-1)+o(x-1)}{x-1}=\frac{2}{3}+o(1),$$ donc $$(T(h))'(x)=\lim_{x\to 1^+}\frac{T(h)(x)-T(h)(1)}{x-1}=\frac{2}{3},$$ et la tangente en 1 de $T(h)$ a pour équation : $$y=\frac{2}{3}(x-1)+\ln(3).$$ Je vous laisse faire un "bô dessin"!

13. Est-ce que la réciproque du résultat obtenu dans la question 5. est vraie, c'est à dire, est ce que, pour tout élément $f$ de $E$, si $T(f)(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et lorsque $x$ tend vers $-\infty$, alors l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt$ converge?

Afficher

Références programme : V-1,6.

On a que $$\lim_{x\to+\infty}T(h)(x)=\lim_{x\to+\infty}\ln(x+2)-\ln(x)=\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)=0$$ et donc par parité que $$\lim_{x\to-\infty}T(h)(x)=0.$$ Cependant $$h(x)=\frac{1}{1+|x|}\overset{+\infty}{\sim}\frac{1}{x},$$ et par Riemann $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}dx$ diverge, donc par équivalence $\int_1^{+\infty}h(x)dx$ diverge également. Il suit que $\int_{-\infty}^{+\infty}h(x)dx$ diverge. On a alors montré que la réciproque à la question 5. n'est pas toujours vraie.


Partie IV : Recherche d'extremums locaux pour une fonction réelle de deux variables réelles


On note : $F:]1,+\infty[\longrightarrow\mathbb R,\ x\mapsto F(x)=\ln(x+2)-\ln(x),$ de sorte que $F(x)=2T(h)(x)$, où $h$ a été définie dans la partie III, et on note : $$H:]1,+\infty[^2\longrightarrow\mathbb R,\ (x,y)\mapsto H(x,y)=F(x)+F(y)-2F(xy).$$

14. Montrer que $H$ est de classe $C^1$ sur $]1,+\infty[^2$ et calculer les dérivées partielles premières de $H$ en tout $(x,y)\in]1,+\infty[^2$.

15. etablir que $H$ admet un point critique et un seul, que l'on calculera.
On note $(x_0,y_0)$ les coordonnées de ce point critique.

16. On admet que $H$ est de classe $C^2$ sur $]1,+\infty[^2$ et que $$\frac{\partial^2H}{\partial x^2}(x_0,y_0)=\frac{\partial^2H}{\partial y^2}(x_0,y_0)\sim -1,2.10^{-2}\text{ et }\frac{\partial^2H}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)\sim-4,5.10^{-2}.$$ Est ce que $H$ admet un extrémum local sur $]1,+\infty[^2$?


Partie V : Transformée d'une densité


Soit $f\in E$. On suppose, dans cette partie, que $f$ est une densité.

17. Montrer, pour tout $(A,B)\in\mathbb R^2$ : $$\int_A^BT(f)(t)dt=\frac{1}{2}\int_{B-1}^{B+1}(B-x)f(x)dx-\frac{1}{2}\int_{A-1}^{A+1}(A-x)f(x)dx+\frac{1}{2}\int_{A+1}^{B+1}f(x)dx+\frac{1}{2}\int_{A-1}^{B-1}f(x)dx.$$

18. Montrer : $\forall B\in\mathbb R,\left|\frac{1}{2}\int_{B-1}^{B+1}(B-x)f(x)dx\right|\leq T(f)(B).$
En déduire la limite de $\frac{1}{2}\int_{B-1}^{B+1}(B-x)f(x)dx$ lorsque $B$ tend $+\infty$.

19. Etablir que $T(f)$ est aussi une densité.

Pour afficher le fil des commentaires : Commentaires.


Pour poster un commentaire ou obtenir de l'aide : c'est ici!




Formulaire

L'insertion de formules suit la syntaxe LATEX. Toute formule doit être encadrée par des dollars : $\bf{\$formule\$}$. Par exemple $\bf{\$ u\_n \$}$ sera interprétée comme une formule et donnera $\bf{u_n}$. Voici quelques exemples pour ceux qui ne sont pas habitués :

Contacter l'auteur du site : frederic.millet @ math-sup.fr