On note $E$ le $\mathbb R$-espace vectoriel des applications de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ continues, $E_1$ le $\mathbb R$-espace vectoriel des applications de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ de classe $C^1$. On remarquera que $E_1$ est inclus dans $E$.
On note, pour tout élément $f$ de $E$, $T(f)$ l'application de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ définie, pour tout $x\in\mathbb R$, par : $$T(f)(x)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{x+1}f(t)dt.$$
1. Etablir que, pour tout élément $f$ de $E$, $T(f)$ appartient à $E_1$ et que , pour tout $x\in\mathbb R$ : $$(T(f))'(x)=\frac{1}{2}\left(f(x+1)-f(x-1)\right).$$
$f$ étant continue sur $\mathbb R$, elle admet une primitive, notons là $F$, qui est de classe $C^1$ sur $\mathbb R$. On a alors : $$T(f)(x)=\left[\frac{1}{2}F(t)\right]_{x-1}^{x+1}=\frac{1}{2}\left(F(x+1)-F(x-1)\right).$$ Par composition $T(f)$ est donc $C^1$ sur $\mathbb R$, c'est à dire appartient à $E_1$.
Enfin en dérivant, on a $$(T(f))'(x)=\frac{1}{2}\left(F'(x+1)-F'(x-1)\right)=\frac{1}{2}\left(f(x+1)-f(x-1)\right).$$
On note $T:E\longrightarrow E$ l'application qui, à $f$, associe $T(f)$.
2. Montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$.
D'après 1. $\forall f\in E,\ T(f)\in E_1$, or $E_1\subset E$ donc $T(f)\in E$. Il suit que $T$ est bien une application de $E$ dans $E$.
La caractère linéaire est une conséquence immédiate de la linéarité des intégrales.
3. Est-ce que $T$ est surjectif?
D'après 1. $T(E)\subset E_1$. Or $E_1\neq E$ donc $T$ n'est pas surjectif.
4. Soit $f\in E$. Montrer que, si $f$ est paire (respectivement impaire), alors $T(f)$ est paire (respectivement impaire).
A cet effet, on pourra utiliser le changement de variable $u=-t$ dans une intégrale.
Je ne fais la preuve que dans le cas paire, le cas impaire étant semblable. Par changement de variable $u=-t$, on a : $$\begin{align} T(f)(-x)&=\int_{-x-1}^{-x+1}f(t)dt\\ &=-\int_{x+1}^{x-1}f(-u)du\\ &=-\int_{x+1}^{x-1}f(u)du\text{ (par parité)}\\ &=\int^{x+1}_{x-1}f(u)du\text{ (par inversion des bornes)}\\ &=T(f)(x)\text{ (par définition!)} \end{align},$$ d'où la parité de $T(f)$.
5. Soit $f\in E$. Montrer que, si l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt$ converge, alors $T(f)(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
Je fais la preuve pour $+\infty$, l'autre cas étant similaire. On observe déjà que comme $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt$ converge alors $\int_{0}^{+\infty}f(t)dt$ converge. D'autre part, on a que $$T(f)(x)=\frac{1}{2}\left(\int_0^{x+1}f(t)dt-\int_{0}^{x-1}f(t)dt\right),$$ donc en passant à la limite $$\lim_{x\to+\infty}T(f)(x)=\frac{1}{2}\left(\int_0^{+\infty}f(t)dt-\int_{0}^{+\infty}f(t)dt\right)=0,$$ d'où le résultat.
6. On note $s:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ l'application qui, à tout $t\in\mathbb R$, associe $s(t)=\sin(\pi t)$. Calculer $T(s)$. Est-ce que $T$ est injectif?
On a : $$T(s)(x)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{x+1}\sin(\pi t)dt=\frac{1}{2\pi}\left[-\cos(\pi t)\right]_{x-1}^{x+1}=\frac{1}{2\pi}\left(-\cos(\pi x-\pi)+\cos(\pi x+\pi)\right)=\frac{1}{2\pi}\left(\cos(\pi x)-\cos(\pi x)\right)=0,$$ donc $T(s)=0$.
$s$ est un élément non nul dans le noyau de $T$, donc $Ker(T)\neq\{0\}$ et par conséquent $T$ n'est pas injectif.
On note, pour tout $a\in\mathbb R$ : $f_a:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R,\ t\mapsto f_a(t)=e^{at}$.
7. Calculer, pour tout $a\in\mathbb R$ et tout $x\in\mathbb R$, $T(f_a)(x).$
On a pour $a\neq 0$ : $$T(f_a)(x)=\frac{1}{2a}\left(e^{a(x+1)}-e^{a(x-1)}\right)=\frac{e^{a}-e^{-a}}{2a}e^{ax}.$$ Si maintenant $a=0$, on a : $$T(f_0)(x)=T(1)(x)=1.$$
On note : $\varphi:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R,\ a\mapsto\varphi(a)=\begin{cases}\frac{e^a-e^{-a}}{2a} & \text{ si } & a\neq 0\\ 1 & \text{ si } & a= 0\end{cases}$
8. Etablir : $\forall a\in\mathbb R,\ T(f_a)=\varphi(a)f_a$.
C'est une simple réécriture de la réponse à la question 7.
9. Montrer que $\varphi$ est dérivable sur $\mathbb R$ et calculer, pour tout $a\in\mathbb R$, $\varphi'(a)$.
Etudier, selon $a\in\mathbb R$, le signe de $e^a(a-1)+e^{-a}(a+1)$.
En déduire les variations de $\varphi$ et tracer l'allure de sa représentation graphique.
$\varphi$ est clairement dérivable sur $\mathbb R^*$ de dérivée : $$\forall a\in\mathbb R^*,\ \varphi'(a)=\frac{e^a(a-1)+e^{-a}(a+1)}{2a^2}.$$
En 0, on étudie la limite du taux d'accroissement : $$\begin{align} \frac{\varphi(a)-\varphi(0)}{a}&=\frac{\frac{e^a-e^{-a}}{2a}-1}{a}\\ &=\frac{e^a-e^{-a}-2a}{2a^2}\\ &=\frac{1+a+\frac{a^2}{2}-(1-a+\frac{a^2}{2})-2a+o(a^2)}{2a^2}\text{ (par DL d'ordre 2)}\\ &=\frac{o(1)}{2}\\ &\overset{a\to 0}{\longrightarrow}0, \end{align}$$ Il suit que $\varphi$ est dérivable en 0 de dérivée $\varphi'(0)=0$.
Signe de $e^a(a-1)+e^{-a}(a+1)$ : En dérivant en la variable $a$, on a : $$(e^a(a-1)+e^{-a}(a+1))'=a(e^a-e^{-a})=2a\text{sh}(a),$$ et cette dernière expression est toujours positive sur $\mathbb R^*$. Il suit que la fonction $a\mapsto e^a(a-1)+e^{-a}(a+1)$ est croissante sur $\mathbb R^*$. On observe de plus que cette fonction s'annulle en 0, par conséquent cette fonction est négative sur $\mathbb R^-$ et positive sur $\mathbb R^+$.
Etude de $\varphi$ : $\varphi'$ est du signe de $e^a(a-1)+e^{-a}(a+1)$ donc $\varphi$ est décroissante sur $\mathbb R^-$ et croissante sur $\mathbb R^+$ et admet un minimum en $a=0$ qui vaut $\varphi(0)=1$. Je vous laisse faire un beau dessin!!
10. En déduire que, pour tout $\lambda\in[1,+\infty[$, il existe $f\in E-\{0\}$ tel que : $T(f)=\lambda f$.
Grâce au beau dessin de la question 9., on peut affirmer que $\varphi(\mathbb R)=[1,+\infty[$, donc pour tout $\lambda\in[1,+\infty[$, il existe $a\in\mathbb R$ tel que $\varphi(a)=\lambda$ et donc d'après 8. on en déduit que pour ce choix de $a$ $$T(f_a)=\lambda f_a.$$ $f_a$ étant une fonction non nulle de $E$, la question est résolue.
On note : $h:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R,\ t\mapsto h(t)=\frac{1}{|t|+1}$.
11. Vérifier $h\in E$ et calculer, pour tout $x\in\mathbb R$, $T(h)(x)$.
A cet effet, on remarquera que $h$ est paire, et on distinguera les cas $0\leq x\leq 1$ et $1<\! x$.
L'application $t\mapsto 1+|t|$ est continue sur $\mathbb R$ et ne s'annulle pas donc par quotient $h$ est continue sur $\mathbb R$ et appartient donc à $E$.
Pour $0\leq x\leq 1$, on a que $x-1\leq 0$ et $x+1\geq 0$ donc $$\begin{align} T(h)(x)&=\int_{x-1}^0\frac{1}{1+|t|}dt+\int_0^{x+1}\frac{1}{1+|t|}dt\\ &=\int_{x-1}^0\frac{1}{1-t}dt+\int_0^{x+1}\frac{1}{1+t}dt\\ &=\left[-\ln(1-t)\right]_{x-1}^0+\left[\ln(1+t)\right]^{x+1}_0\\ &=\ln(2-x)+\ln(x+2). \end{align}$$
Pour $x>1$, on a $x+1\geq 0$ donc $$T(h)(x)=\int_{x-1}^{x+1}\frac{1}{1+t}dt=\left[\ln(t+1)\right]_{x-1}^{x+1}=\ln(x+2)-\ln(x).$$
En résumé, sur $\mathbb R^+$ on a $$T(h)(x)=\begin{cases} \ln(2-x)+\ln(x+2) & \text{ si }0\leq x\leq 1\\ \ln(x+2)-\ln(x) & \text{ si }x>1. \end{cases}$$ D'autre part comme $h$ est paire, d'après 4. $T(h)$ est également paire et donc sur $\mathbb R$ on a : $$T(h)(x)=\begin{cases} \ln(2-x)+\ln(x+2) & \text{ si }-1\leq x\leq 1\\ \ln(x+2)-\ln(x) & \text{ si }x>1\\ \ln(-x+2)-\ln(-x) & \text{ si }x<\!-1. \end{cases}$$
12. Etudier les variations de $T(h)$ et tracer l'allure de sa représentation graphique.
On précisera les tangentes aux points d'abscisses 0 et 1. On donne $\ln 2\simeq 0,69..., \ln 3\simeq 1,10...$
En dérivant et en faisant une étude de fonction, on trouve que $T(h)$ est croissante sur $\mathbb R^-$ et dévraoissante sur $\mathbb R^+$ (je vous laisse gérer les détails!). Pour la tangente en $0$, comme $T(h)$ est paire, sa dérivée en $0$ est nulle, donc nous avons une tangente horizontale. Pour la tangeante en $1$, il faut calculer la dérivée en $1$. Pour la trouver on peut par exemple calculer la limite à droite du taux d'accroissement en 1 (on peut aussi le faire à gauche, le résultat sera le même puisque la fonction est dérivable), c'est à dire calculer : $$\lim_{x\to 1^+}\frac{T(h)(x)-T(h)(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{\ln(x+2)-\ln(x)-\ln(3)}{x-1}$$ Or en faisant un DL d'ordre 1 en 1, on a : $$\ln(x+2)=\ln(3)+\frac{1}{3}(x-1)+o(x-1).$$ $$\ln(x)=(x-1)+o(x-1).$$ Par conséquent : $$\frac{\ln(x+2)-\ln(x)-\ln(3)}{x-1}=\frac{\frac{2}{3}(x-1)+o(x-1)}{x-1}=\frac{2}{3}+o(1),$$ donc $$(T(h))'(x)=\lim_{x\to 1^+}\frac{T(h)(x)-T(h)(1)}{x-1}=\frac{2}{3},$$ et la tangente en 1 de $T(h)$ a pour équation : $$y=\frac{2}{3}(x-1)+\ln(3).$$ Je vous laisse faire un "bô dessin"!
13. Est-ce que la réciproque du résultat obtenu dans la question 5. est vraie, c'est à dire, est ce que, pour tout élément $f$ de $E$, si $T(f)(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et lorsque $x$ tend vers $-\infty$, alors l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt$ converge?
On a que $$\lim_{x\to+\infty}T(h)(x)=\lim_{x\to+\infty}\ln(x+2)-\ln(x)=\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)=0$$ et donc par parité que $$\lim_{x\to-\infty}T(h)(x)=0.$$ Cependant $$h(x)=\frac{1}{1+|x|}\overset{+\infty}{\sim}\frac{1}{x},$$ et par Riemann $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}dx$ diverge, donc par équivalence $\int_1^{+\infty}h(x)dx$ diverge également. Il suit que $\int_{-\infty}^{+\infty}h(x)dx$ diverge. On a alors montré que la réciproque à la question 5. n'est pas toujours vraie.
On note : $F:]1,+\infty[\longrightarrow\mathbb R,\ x\mapsto F(x)=\ln(x+2)-\ln(x),$ de sorte que $F(x)=2T(h)(x)$, où $h$ a été définie dans la partie III, et on note : $$H:]1,+\infty[^2\longrightarrow\mathbb R,\ (x,y)\mapsto H(x,y)=F(x)+F(y)-2F(xy).$$
14. Montrer que $H$ est de classe $C^1$ sur $]1,+\infty[^2$ et calculer les dérivées partielles premières de $H$ en tout $(x,y)\in]1,+\infty[^2$.
15. etablir que $H$ admet un point critique et un seul, que l'on calculera.
On note $(x_0,y_0)$ les coordonnées de ce point critique.
16. On admet que $H$ est de classe $C^2$ sur $]1,+\infty[^2$ et que $$\frac{\partial^2H}{\partial x^2}(x_0,y_0)=\frac{\partial^2H}{\partial y^2}(x_0,y_0)\sim -1,2.10^{-2}\text{ et }\frac{\partial^2H}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)\sim-4,5.10^{-2}.$$ Est ce que $H$ admet un extrémum local sur $]1,+\infty[^2$?
Soit $f\in E$. On suppose, dans cette partie, que $f$ est une densité.
17. Montrer, pour tout $(A,B)\in\mathbb R^2$ : $$\int_A^BT(f)(t)dt=\frac{1}{2}\int_{B-1}^{B+1}(B-x)f(x)dx-\frac{1}{2}\int_{A-1}^{A+1}(A-x)f(x)dx+\frac{1}{2}\int_{A+1}^{B+1}f(x)dx+\frac{1}{2}\int_{A-1}^{B-1}f(x)dx.$$
18. Montrer : $\forall B\in\mathbb R,\left|\frac{1}{2}\int_{B-1}^{B+1}(B-x)f(x)dx\right|\leq T(f)(B).$
En déduire la limite de $\frac{1}{2}\int_{B-1}^{B+1}(B-x)f(x)dx$ lorsque $B$ tend $+\infty$.
19. Etablir que $T(f)$ est aussi une densité.
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