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Cours particuliers.

Corrigé ESSEC 2010

Thèmes abordés

Remarques

La première partie du sujet ne présente pas trop de diffcultés. Par contre la seconde partie demande une connaissance parfaite des définitions d'équivalent, de petit o et de la définition abstraite d'une limite (avec les $\epsilon$). Enfin la troisième partie est une partie de synthèse. Pour bien la réussir, il ne faudra pas hésiter à revenir sur les constructions effectuées lors de la première partie.


Partie I


Notations et objectif du problème

On désigne par $I$ l'intervalle $[1,+\infty[$; on note $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues et bornées sur $I$ à valeurs réelles et $C^1(I,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $C^1$ sur $I$ à valeurs réelles.

On fixe enfin $a$ un réel strictement positif.

Pout $f$ un élement de $E$, on dit qu'une fonction $y$ de $C^1(I,\mathbb R)$ est une solution du problème $\left(E_f\right)$ si : $$\forall x\in I,\ y'(x)-ay(x)+f(x)=0.$$

L'objectif de ce problème est de montrer qu'à tout élément $f$ de $E$, on peut associer une unique solution $g$ de $\left(E_f\right)$ qui soit bornée sur $I$, puis d'étudier l'opérateur $U:f\mapsto g$.

Les trois parties du problème traitent, souvent à partir d'exemple, de propriétés de l'opérateur $U$.

I. Existence et propriétés élementaires de l'opérateur $U$.

1. Etude de l'équation $\left(E_f\right)$

a) On considère $f\in E$ et $y\in C^1(I,\mathbb R)$. Ecrire la dérivée de $x\mapsto e^{-a x}y(x)$. Montrer alors que $y$ est solution du problème $\left(E_f\right)$ si et seulement si il existe $K\in\mathbb R$ tel que : $\forall x\in I,y(x)=e^{a x}\left(K-\int_1^xe^{-a t}f(t)dt\right)$.

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La dérivée de $x\mapsto e^{-a x}y(x)$ est $e^{-ax}(y'(x)-ay(x))$. Maintenant $y$ est solution de $(E_f)$ si et seulement si $e^{-ax}(y'(x)-ay(x))=e^{-ax}f(x)$ si et seulement si $(e^{-ax}y)'=e^{-ax}f(x)$. En intégrant cette dernière inégalité entre 1 et x, ceci est encore équivalent à $e^{-ax}y(x)-e^{-a}y(1)=\int_1^xe^{-at}f(t)dt$. Il ne reste plus qu'à réorganiser cette dernière inégalité pour répondre à la question.

b) Montrer que, s'il existe une solution de $\left(E_f\right)$ qui soit bornée sur $I$, celle-ci est unique.

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On considère deux solutions $y_1$ et $y_2$. D'après la question 1.a) elles sécrivent sous la forme $y_1(x)=e^{a x}\left(K_1-\int_1^xe^{-a t}f(t)dt\right)$ et $y_2(x)=e^{a x}\left(K_2-\int_1^xe^{-a t}f(t)dt\right)$. En faisant la différence des deux, on a alors $y_1(x)-y_2(x)=(K_1-K_2)e^{ax}$. Or la différence deux fonctions bornées est bornée, donc $y_1-y_2$ doit être bornée sur $I$ et ceci n'est possible que si $K_1=K_2$, d'où le résultat.

c) Vérifier que l'intégrale $\int_1^{+\infty}e^{-a t}f(t)dt$ est convergente.

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$f$ est bornée donc il existe $M>0$ tel que $|f|\leq M$. On a donc $|e^{-ax}f(x)|\leq Me^{-ax}$ et on conclut par comparaison et le fait que la convergence absolue implique la convergence.

d) Démontrer que $g:x\mapsto e^{a x}\int_x^{+\infty}e^{-a t}f(t)dt$ est l'unique solution de $\left( E_f\right)$ qui soit bornée sur $I$.

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D'abord en écrivant $g$ sous la forme $e^{ax}\left(\int_1^{+\infty}e^{-at}f(t)dt-\int_1^xe^{-at}f(t)dt\right)$, on montre d'après a) que $g$ est solution de $(E_f)$. D'autre part, en utilisant le fait que $f$ est bornée on a la majoration suivante : $$|g(x)|\leq e^{ax}\int_x^{+\infty}e^{-at}|f(t)|dt\leq M e^{ax}\int_x^{+\infty}e^{-at}dt=\frac{M}{a}.$$ Et donc $g$ est bornée.

Dans toute la suite du problème, si $f\in E$, on note $U(f)$ la fonction $g$ obtenue à la question d).

2. Linéarité de U

a) Expliciter $U(f)$ dans le cas où $f=1$.

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$U(1)=\frac{1}{a}$

b) Montrer que $U$ est un endomorphisme de $E$.

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La linéarité résulte de la linéarité des intégrales convergentes. Reste à voir que si $f\in E$ alors $U(f)\in E$ pour que ce soit un endomorphisme. La continuité résulte facilement de l'écriture $U(f)=e^{ax}\left(\int_1^{+\infty}e^{-at}f(t)dt-\int_1^xe^{-at}f(t)dt\right)$ et l'aspect borné de la question 1.d).

c) $U$ est-il injectif?

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Si $U(f)=0$, comme $U(f)$ est solution de $(E_f)$, en remplaçant $y$ par $U(f)=0$ dans $(E_f)$, on trouve $f=0$. On a donc $Ker(U)=\{0\}$, $U$ est injective.

d) On définit les puissances successives de $U$ par $U^0=Id_E$, et pour tout entier naturel $n$ non nul, $U^n=U^{n-1}\circ U$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U^{n+1}(f)$ est la fonction : $x\mapsto e^{a x}\int_x^{+\infty}\frac{(t-x)^n}{n!}e^{-a t}f(t)dt$.

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On raisonne par récurrence. L'initialisation est évidente. On suppose que la formule $U^{n+1}(f)(x)=e^{ax}\int_x^{+\infty}\frac{(t-x)^n}{n!}e^{-a t}f(t)dt$ est vraie et on veut montrer que la formule est vraie pour $U^{n+2}(f)$. On observe que $U^{n+2}(f)=U(U^{n+1}(f))$, donc pour montrer que la formule soit vraie au rang $n+2$, il suffit de vérifier que $e^{ax}\int_x^{+\infty}\frac{(t-x)^{n+1}}{(n+1)!}e^{-a t}f(t)dt$ est bornée et solution de l'équation différentielle : $$y'(x)-ay(x)+e^{ax}\int_x^{+\infty}\frac{(t-x)^n}{n!}e^{-a t}f(t)dt=0.$$ Pour le caractère borné, on utilise le fait que $f$ est bornée. Pour l'équation différentielle, pour dériver proprement la fonction, on écrira : $$\begin{align} e^{ax}\int_x^{+\infty}\frac{(t-x)^{n+1}}{(n+1)!}e^{-a t}f(t)dt&=e^{ax}\left(\int_1^{+\infty}\frac{(t-x)^{n+1}}{(n+1)!}e^{-a t}f(t)dt-\int_1^{x}\frac{(t-x)^{n+1}}{(n+1)!}e^{-a t}f(t)dt\right)\\ &=e^{ax}\left(\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n}{k}(-x)^k\int_1^{+\infty}\frac{t^{n+1-k}}{(n+1)!}e^{-a t}f(t)dt-\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n}{k}(-x)^k\int_1^{x}\frac{t^{n+1-k}}{(n+1)!}e^{-a t}f(t)dt\right) \end{align}$$ et on n'oubliera pas que la dérivée de $\int_a^x\psi(t)dt$ avec $\psi$ continue est $\psi(x)$.

3. Cas des fonctions exponentielles

a) Pour $k$ un nombre réel positif et $f_k$ la fonction $x\mapsto e^{-kx}$, expliciter $U(f_k)$.

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$$U(f_k)=e^{ax}\int_x^{+\infty}e^{-at}e^{-kt}dt=\frac{e^{-kx}}{a+k}.$$

b) En déduire que, pour tout réel $\lambda\in\left]0,\frac{1}{a}\right]$, $Ker\left(U-\lambda id_E\right)\neq\{0\}$.

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D'après la question précédente $U(f_k)=\frac{1}{a+k}f_k$, soit encore $\left(U-\frac{1}{a+k}id_E\right)(f_k)=0$ donc la fonction $f_k$ est dans $Ker\left(U-\frac{1}{a+k}id_E\right)$ et $Ker\left(U-\frac{1}{a+k} id_E\right)\neq\{0\}$. D'autre part lorsque $k$ parcours $[0,+\infty[$, $\frac{1}{a+k}$ parcours $\left]0,\frac{1}{a}\right]$ ce qui répond à la question.

c) Pour tout entier naturel $n$, expliciter $U^n(f_k)$. Pour $x$ élément de $I$, préciser $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left[U^n(f_k)\right](x)$.

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Comme $U(f_k)=\frac{1}{a+k}f_k$, par linéarité de $U$ on a $U^n(f_k)=\frac{1}{(a+k)^n}f_k$. Pour la limite, on distinguera les cas $a+k>1$, $a+k=1$ et $a+k<\ 1$.

4. Cas des fonctions sinus et cosinus

Dans cet exemple seulement (ensemble de la question I-4), on prendra $a=1$.

a) Expliciter $U(sin)$ et $U(cos)$.

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Pour le calcul de $U(\sin)$, on se ramène à une intégrale finie puis on effectue deux intégrations successives : $$\begin{align} \int_x^Ae^{-t}\sin(t)dt &=\left[-e^{-t}\sin(t)\right]_x^A+\int_x^Ae^{-t}\cos(t)dt\\ &=-e^{-A}\sin(A)+e^{-x}\sin(x)+\left[-e^{-t}\cos(t)\right]_x^A-\int_x^Ae^{-t}\sin(t)dt\\ &=-e^{-A}\sin(A)+e^{-x}\sin(x)-e^{-A}\cos(A)+e^{-x}\cos(x)-\int_x^Ae^{-t}\sin(t)dt \end{align}.$$ Puis en faisant tendre $A$ vers l'infini, on trouve que $U(\sin)=\sin(x)+\cos(x)-U(\sin)$, puis en résolvant, on trouve : $U(\sin)=\frac{1}{2}\left(\sin(x)+\cos(x)\right)$. En raisonnant de la même façon, on trouve : $U(\cos)=\frac{1}{2}\left(\cos(x)-\sin(x)\right)$

b) Montrer que le sous-espace $P$ de $E$ engendré par les fonctions $sin$ et $cos$ est stable par $U$ et que $(sin,cos)$ en est une base. Dans cette base, écrire la matrice $M$ de l'endomorphisme $$U_p:\begin{cases}P\to P\\ f\mapsto U(f)\end{cases}.$$

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$U(\sin)$ et $U(\cos)$ sont combinaisons linéaires de $\cos$ et $\sin$ donc sont dans $E$. $E$ est donc stable pas $U$. $\sin$ et $\cos$ engendrent $E$, il reste donc à prouver qu'ils forment une famille libre pour que se soit une base. Or on a que pour tous $\lambda,\mu\in\mathbb R$ $$\begin{align} \lambda\cos+\mu\sin=0&\Longleftrightarrow \forall x\in I,\lambda\cos(x)+\mu\sin(x)=0\\ &\Longrightarrow \lambda\cos(\pi)+\mu\sin(\pi)=0\text{ et }\lambda\cos(\pi/2)+\mu\sin(\pi/2)=0\\ &\Longrightarrow \lambda=\mu=0. \end{align}$$ Enfin grâce aux calculs de $U(\cos)$ et $U(\sin)$, la matrice de U dans cette base est : $$M=\begin{pmatrix} 1/2 & -1/2\\ 1/2 &1/2 \end{pmatrix}.$$

c) Calculer $M^2$, $M^3$, $M^4$. Expliciter $M^n$ pour tout entier naturle $n$, puis préciser la limite des coefficients de $M^n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

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$$M^2=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix},\ M^3=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-1 & -1\\ 1 & -1\end{pmatrix},\ M^4=-\frac{1}{2^3}I.$$ Soit maitenant un $n$ quelconque, en faisant une division Euclidienne par 4, on peut toujours l'écrire comme $n=4p+r$ avec $0\leq r\leq 3$, de sorte que : $$M^n=M^{4p+r}=(M^4)^pM^r=\frac{1}{(-2)^{3p}}M^r.$$ En faisant tendre $n$ vers l'infini, $p$ tend également vers l'infini et donc tous les coefficients de $M^n$ tendent vers l'infini.

5. Une autre famille de fonctions

Pour tout entier naturel non nul, on considère la fonction de $E$ $\varphi_n:x\mapsto e^{-x}x^n$ et on note $\psi_n$ la fonction $U(\varphi_n)$.

a) Pour $n$ un entier naturel non nul, établir une relation entre $\psi_n$, $\varphi_n$ et $\psi_{n-1}$.

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A l'aide d'une intégration par parties, on montre que $$\int_x^{+\infty}e^{-t}t^ne^{-at}dt=\frac{1}{a+1}x^ne^{-(a+1)x}+\frac{n}{a+1}\int_x^{+\infty}t^{n-1}e^{-(a+1)t}dt.$$ On en déduit alor que $\psi_n=\frac{1}{a+1}\varphi_n+\frac{n}{a+1}\psi_{n-1}$.

b) Pour $p$ entier naturel, montrer que le sous espace $F_p$ de $E$ engendré pas $\left(\varphi_0,\varphi_1,\dots,\varphi_p\right)$ est stable par $U$ et admet pour base $\left(\varphi_0,\varphi_1,\dots,\varphi_p\right)$.

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Pour la stabilité, on montre par récurrence que $U(\varphi_n)$ appartient à $F_p$ avec $n\geq p$. Pour montrer que $\left(\varphi_0,\varphi_1,\dots,\varphi_p\right)$ est une base, on sait déjà que c'est une famille génératrice, il reste alors à prouver que c'est une famille libre. Soient alors $\lambda_0,\dots,\lambda_p$ dans $\mathbb R^n$, on a : $$\begin{align} \lambda_0\varphi_0+\dots+\lambda_p\varphi_p=0&\Longleftrightarrow \forall x\in I,\lambda_0\varphi_0(x)+\dots+\lambda_p\varphi_p(x)=0\\ &\Longleftrightarrow \forall x\in I,\lambda_0+\lambda_1x+\dots+\lambda_px^p=0. \end{align}.$$ Maintenant on prendra garde de ne pas conclure en utilisant le fait que l'on reconnait la base cacnonique de l'espace des polynômes car ces fonctions sont définies uniquement sur $I$ et pas sur $\mathbb R$. Une façon simple de conclure est la suivante. La dernière inégalité est équivalente à : $$\forall x\in I,\lambda_0x^{-p}+\lambda_1x^{-p+1}+\dots+\lambda_p=0,$$ donc en faisant tendre $x$ vers l'infini, on trouve $\lambda_p=0$. Il nous reste alors : $$\forall x\in I,\lambda_0\varphi_0(x)+\dots+\lambda_{p-1}\varphi_{p-1}(x)=0,$$ et on réitère la même astuce que précédemment.

c) On prend ici $p=2$, écrire dans la base $\left(\varphi_0,\varphi_1,\varphi_2\right)$ de $F_2$ la matrice $T_2$ de l'endomorphisme $U_2:\begin{cases}F_2\to F_2\\f\mapsto U(f)\end{cases}$. Calculer $T_2^n$ pour tout entier naturel $n$, puis préciser la limite des coefficients de $T_2^n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

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D'après 3.a), on a $U(\varphi_0)=\frac{\varphi_0}{a+1}$ et d'après 5.a) $$U(\varphi_1)=\frac{1}{a+1}\varphi_1+\frac{1}{a+1}U(\varphi_0)=\frac{1}{a+1}\varphi_1+\frac{1}{(a+1)^2}\varphi_0.$$ $$U(\varphi_2)=\frac{1}{a+1}\varphi_2+\frac{1}{a+1}U(\varphi_1)=\frac{1}{a+1}\varphi_2+\frac{1}{(a+1)^2}\varphi_1++\frac{1}{(a+1)^3}\varphi_0.$$ La matrice de $U_2$ est donc : $$T_2=\begin{pmatrix} \frac{1}{a+1} & \frac{1}{(a+1)^2} & \frac{1}{(a+1)^3}\\ 0 & \frac{1}{a+1} & \frac{1}{(a+1)^2}\\ 0 & 0 & \frac{1}{a+1} \end{pmatrix}.$$ Pour la calcul de $T_2^n$, on décompose $T_2$ de la façon suivante $T_2=\frac{1}{a+1}I+N$, où on a posé $$N=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{(a+1)^2} & \frac{1}{(a+1)^2}\\ 0 & 0 & \frac{1}{(a+1)^2}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ On montre facilement que $N^3=0$ et comme $N$ commute avec $I$, on peut appliquer la formule du binome de Newton aux matrices : $$T_2^n=\left(\frac{1}{a+1}I+N\right)^n=\frac{1}{(a+1)^n}I+\binom{n}{1}\frac{1}{(a+1)^{n-1}}N+\binom{n}{2}\frac{1}{(a+1)^{n-2}}N^2.$$ Après calcul on trouve alors : $$T_2^n= \begin{pmatrix} \frac{1}{(a+1)^n} & \frac{n}{(a+1)^{n+1}} & \frac{n(n-1)}{2(a+1)^{n+2}}\\ 0 & \frac{1}{(a+1)^n} & \frac{n}{(a+1)^{n+1}}\\ 0 & 0 & \frac{1}{(a+1)^n} \end{pmatrix}.$$ Enfin en passant à la limite en $n$, tous les coefficients de la matrice tendent vers 0 (on pourra pour le voir utiliser le fait que $(a+1)^n=e^{n\ln(a+1)}$ et de la croissance comparée).

6. Une autre expression de $U(f)$

Pour $f\in E$, montrer que : $\forall x\in I,\ U(f)(x)=\int_0^{+\infty}e^{-a t}f(x+t)dt$.

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On effectuera le changement de variable $y=t-x$ dans l'expression de $U$.

7. Positivité de $U$

a) Pour $f\in E$, montrer que : $|U(f)|\leq U(|f|)$.

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On utilise l'inégalité triangulaire : $$|U(f)|=\left|\int_0^{+\infty}e^{-a t}f(x+t)dt\right|\leq\int_0^{+\infty}e^{-a t}|f|(x+t)dt=U(|f|).$$

On considère maintenant $\varphi$ un élément de $E$ à valeurs positives et $\psi=U(\varphi)$.

b) Montrer que $\psi$ est à valeurs positives.

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Utiliser la positivité des intégrales.

c) On suppose que $\varphi$ est décroissante. Montrer que $a\psi\leq \varphi$ puis que $\psi$ est décroissante.

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Par décroissance de $\varphi$, on : $$\psi(x)=U(\varphi)(x)\leq\int_0^{+\infty}e^{-a t}\varphi(x+t)dt\leq\varphi(x)\int_0^{+\infty}e^{-a t}dt\leq\varphi(x)\frac{1}{a},$$ d'où l'inégalité. Pour la décroissance de $\psi$, on se souvient que $\psi$ est solution de $\psi'=a\psi-\varphi$, or l'inégalité établié précédemment nous montre que $\psi'\leq 0$. $\psi$ est donc décroissante.

8. Commutation de $U$ avec la dérivation

On note $E_1=\left\lbrace f\in E\cap C^1(I,\mathbb R)/f'\text{ bornée sur }I\right\rbrace$ et $D$ l'opérateur de dérivation qui, à tout élément de $E_1$, associe sa dérivée.

a) Pour $f$ un élément de $E_1$, montrer, en utilisant la question 6, que : $aU(f)=f+U(f')$.

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On effectuera une intégration par partie à l'aide de la formule de la question 6.

b) En déduire que, pour tout élément $f$ de $E_1$, $D(U(f))=U(D(f))$.

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Il suffit de se souvenir que $U(f)$ est solution de l'équation différentielle $(U(f))'=aU(f)-f$ et d'utiliser la formule établie en 8.a).

c) Pour $f$ une fonction de $E_1$ à valeurs positives et décroissante, retrouver le résultat de la question 7.c) : $U(f)$ est décroissante.

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$f$ est décroissante donc $f'$ est une fonction négative et $-f'$ est positive. Or d'après 7.a) $U(-f')$ est positive et $U(f')$ négative. Enfin d'après 8.b) $U(f')=(U(f))'$ donc $U(f)$ est décroissante.

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