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Partie IV. Retour à l'étude de $\Phi$.


16) Montrer que $\displaystyle\sup_{f\in E_0\backslash\{0\}}\frac{N_0[\Phi(f)]}{N_0(f)}=\frac{\pi^2}{4}$.

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D'après 8), on sait déjà que $$\displaystyle\sup_{f\in E_0\backslash\{0\}}\frac{N_0[\Phi(f)]}{N_0(f)}\leq\frac{\pi^2}{4}$$ D'autre part on peut faire l'étude de la fonction $\Phi(1)$ grâce à la partie II et montrer que $N_0[\Phi(1)]=\frac{\pi^2}{4}$. Or comme $N_0[1]=1$, on en déduit que $$\displaystyle\sup_{f\in E_0\backslash\{0\}}\frac{N_0[\Phi(f)]}{N_0(f)}\geq\frac{N_0[\Phi(1)]}{N_0[1]}=\frac{\pi^2}{4}.$$ Ces deux inégalités nous montre le résultat.

Dans toute la suite du problème, on considère :

17) Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb N,\varphi_{n+1}=\lambda\Phi(\varphi_n)$ et $N_0(\varphi_{n+1})\leq\gamma N_0(\varphi_n)$.

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Par linéarité de $\Phi$ $$\varphi_{n+1}=\lambda^n\lambda\Phi o\Phi^n(f)=\lambda\Phi(\lambda^n\Phi^n(f))=\lambda\Phi(\varphi_n).$$ D'autre part par propriété de la norme le résultat 16), on a : $$N_0(\varphi_{n+1})=N_0(\lambda\Phi(\varphi_n))=|\lambda|N_0(\Phi(\varphi_n))\leq|\lambda|\frac{\pi^4}{4}N_0(\varphi_n)=\gamma N_0(\varphi_n).$$

18) Peut-on avoir $\lambda\Phi(f)=f$? Que peut-on alors dire de $id_{E_0}-\lambda\Phi$?

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Supposons que $\lambda\Phi(f)=f$, on a deux cas de figure. Si $\lambda=0$ alors $f=0$ ce qui est impossible par hypothèse sur $f$. Si $\lambda\neq 0$, on passe à la norme et on a $|\lambda|N_0(\Phi(f))=N_0(f)$ donc $\frac{N_0(\Phi(f))}{N_0(f)}=\frac{1}{|\lambda|}>\frac{\pi^2}{4}$ (par hypothèse sur $\lambda$) mais cette dernière inégalité est impossible d'après 16). Donc $\lambda\Phi(f)=f$ est impossible.

Ce que nous venons de montrer, nous permet d'affirmer que $(id_{E_0}-\lambda\Phi)(f)=0$ n'a pas de solution non nulle, autrement dit que $Ker(id_{E_0}-\lambda\Phi)=\{0\}$, c'est à dire que $id_{E_0}-\lambda\Phi$ est injective.

19) Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N, N_0(\varphi_n)\leq\gamma^n M$ et que la série $\sum_{n\geq 0}N_0(\varphi_n)$ converge.

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La relation $N_0(\varphi_n)\leq\gamma^n M$ se montre par récurrence en utilisant 17) pour l'hérédité.

Pour la convergence de la série, on remarque que la condition sur $\lambda$ entraine que $0\leq\gamma<\!1$, la relation établie précédemment nous permet de comparer la série à une série géométrique convergente.

20) Montrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, la série $\sum_{n\geq 0}\varphi_n(x)$ converge.

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On a $|\varphi_n(x)|\leq N_0(\varphi_n)$ mais on sait d'après 19) que $\sum^{+\infty}N_0(\varphi_n)$ converge. Par comparaison $\sum^{+\infty}|\varphi_n(x)|$ converge et $\sum^{+\infty}\varphi_n(x)$ aussi.

On note alors $\varphi:x\in\mathbb R\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}\varphi_n(x)$.

21) Montrer que $\varphi$ est bornée sur $\mathbb R$.

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D'après 19) on a $$|\varphi(x)|\leq\sum_{n\geq 0}|\varphi_n(x)|\leq\sum_{n\geq 0}N_0[\varphi_n(x)]\leq M\sum_{n\geq 0}\gamma^n=M\frac{1}{1-\gamma},$$ donc $\varphi$ est bornée.

22) Continuité de $\varphi$.

a) Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, pour tout $x\in\mathbb R$, pour tout $h\in\mathbb R^*$, $$\left|\varphi_{n+1}(x+h)-\varphi_{n+1}(x)\right|\leq|\lambda|N_0(\varphi_n)\left[\frac{|h|}{2}\ln\left(1+\frac{1}{h^2}\right)+\pi\arctan|h|\right].$$

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Par linéarité de $\Phi$, on a facilement que $$|\varphi_{n+1}(x+h)-\varphi_{n+1}(x)=\left|\lambda\Phi(\varphi_n)(x+h)-\lambda\Phi(\varphi_n)(x)\right|,$$ enfin on conclut aisément grâce à la question 9)c).

b) En déduire que, pour tout $x\in\mathbb R$, pour tout $h\in\mathbb R^*$, $$\left|\varphi(x+h)-\varphi(x)\right|\leq|\lambda|\left(\sum_{n=0}^{+\infty}N_0(\varphi_n)\right)\left[\frac{|h|}{2}\ln\left(1+\frac{1}{h^2}\right)+\pi\arctan|h|\right]+|f(x+h)-f(x)|.$$

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On procède comme suit : $$\begin{align} |\varphi(x+h)-\varphi(x)|&\leq\sum_{n\geq 0}|\varphi_n(x+h)-\varphi_n(x)|\\ &=|\varphi_0(x+h)-\varphi_0(x)|+\sum_{n\geq 0}|\varphi_{n+1}(x+h)-\varphi_{n+1}(x)|\\ &\leq|f(x+h)-f(x)|+|\lambda|\left(\sum_{n=0}^{+\infty}N_0(\varphi_n)\right)\left[\frac{|h|}{2}\ln\left(1+\frac{1}{h^2}\right)\right]\text{ (d'après 22)a))} \end{align}$$

c) Justifier que $\varphi$ est continue sur $\mathbb R$.

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Par continuité de $f$ et la continuité de $\arctan$ et un calcul de limite classique, on motre facilement que le terme de droite de l'inégalité 22)b) tend vers 0 quand $h$ tend vers 0, et la continuité de $\varphi$ suit.

23) Application aux valeurs spectrales de $\varphi$.

a) Pour tout $n\in\mathbb N$, calculer $(id_{E_0}-\lambda\Phi)\left(\sum_{k=0}^{n+1}\varphi_k\right)$ et montrer que $\lim_{n\to+\infty}N_0\left[(id_{E_0}-\lambda\Phi)\left(\sum_{k=0}^{n+1}\varphi_k\right)-f\right]=0$.

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On a $$\begin{align} (id_{E_0}-\lambda\Phi)\left(\sum_{k=0}^{n+1}\varphi_k\right)&=\sum_{k=0}^{n+1}\varphi_k-\sum_{k=0}^{n+1}\lambda\Phi(\varphi_k)\\ &=\sum_{k=0}^{n+1}\varphi_k-\sum_{k=0}^{n+1}\varphi_{k+1}\\ &=\varphi_0-\varphi_{n+2}\\ &=f-\varphi_{n+2}. \end{align}$$ Il suit que $$N_0\left[(id_{E_0}-\lambda\Phi)\left(\sum_{k=0}^{n+1}\varphi_k\right)-f\right]=N_0[\varphi_{n+2}].$$ Mais comme $\sum N_0[\varphi_k]$ est une série convergente, on a que $\lim_{n\to+\infty}N_0[\varphi_n]=0$ et le résultat suit.

b) Montrer alors que $(id_{E_0}-\lambda\Phi)(\varphi)=f$. Que peut-on dire de $id_{E_0}-\lambda\Phi$?

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On procède comme suit $$\begin{align} \left|\left(Id_{E_0}-\lambda\Phi\right)(\varphi)(x)-f(x)\right| &=\left|\left(Id_{E_0}-\lambda\Phi\right)\left(\sum_{k=0}^{n+1}\varphi_k\right)(x)-f(x)+\left(Id_{E_0}-\lambda\Phi\right)(\sum_{k=n+2}^{+\infty}\varphi_k)(x)\right|\\ &\leq\left|\left(Id_{E_0}-\lambda\Phi\right)\left(\sum_{k=0}^{n+1}\varphi_k\right)(x)-f(x)\right|+\sum_{k=n+2}^{+\infty}|\varphi_k(x)|+\left|\lambda\Phi\left(\sum_{k=n+2}^{+\infty}\varphi_k\right)(x)\right|\\ &\leq N_0\left[\left(Id_{E_0}-\lambda\Phi\right)\left(\sum_{k=0}^{n+1}\varphi_k\right)-f\right]+\sum_{k=n+2}^{+\infty}|\varphi_k(x)|+|\lambda|N_0\left[\Phi\left(\sum_{k=n+2}^{+\infty}\varphi_k\right)\right]\\ &\leq N_0\left[\left(Id_{E_0}-\lambda\Phi\right)\left(\sum_{k=0}^{n+1}\varphi_k\right)-f\right]+\sum_{k=n+2}^{+\infty}|\varphi_k(x)|+|\lambda|\frac{\pi^4}{4}N_0\left[\sum_{k=n+2}^{+\infty}\varphi_k\right]\text{ (d'après 16))}\\ &\leq N_0\left[\left(Id_{E_0}-\lambda\Phi\right)\left(\sum_{k=0}^{n+1}\varphi_k\right)-f\right]+\sum_{k=n+2}^{+\infty}|\varphi_k(x)|+|\lambda|\frac{\pi^4}{4}\sum_{k=n+2}^{+\infty}N_0\left[\varphi_k\right]. \end{align}$$ Maintenant quand $n$ tend vers l'infini d'après 23)a) $N_0\left[\left(Id_{E_0}-\lambda\Phi\right)\left(\sum_{k=0}^{n+1}\varphi_k\right)-f\right]$ tend vers $0$, $\sum_{k=n+2}^{+\infty}|\varphi_k(x)|$ tend aussi vers $0$ car c'est le reste d'une série convergente d'après 20), et $\sum_{k=n+2}^{+\infty}N_0\left[\varphi_k\right]$ tend également vers $0$ car c'est le reste d'une série convergente d'après 19). Donc $(id_{E_0}-\lambda\Phi)(\varphi)=f$. On vient donc de montrer que $(id_{E_0}-\lambda\Phi)$ est surjective.

c) Soit $\mu\in\mathbb R^*$ tel que $\Phi-\mu id_{E_0}$ ne soit pas bijective, montrer que $|\mu|\leq\frac{\pi^2}{4}$.

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Si $|\mu|>\frac{\pi^2}{4}$ alors $\left|\frac{1}{\mu}\right|<\!\frac{4}{\pi^2}$ ce qui implique à son tour d'après 18) et 23)b) que $id_{E_0}-\frac{1}{\mu}\Phi$ est bijective et donc que $\Phi-\mu id_{E_0}$ est bijective. On en déduit le résultat par contraposée.

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