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Partie IV

Dans cette partie, la matrice $A=(a_{k,j})_{1\leq k,j\leq p}$ de ${\cal M}_p(\mathbb R)$ est strictement positive, $\lambda$ est une valeur complexe de $A$ telle que $|\lambda|=\rho(A)$, et $X\in\mathbb C^p$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda$.

11. a) Montrer que $\rho(A)>0$.

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Le nombre $\sigma$ calculé en 9 est strictement positif car $A$ est strictement positive, et comme $\rho(A)\geq \sigma>0$ le résultat suit.

b) Etablir la relation : $|AX|\leq A|X|$. En déduire que l'on a : $\rho(A)|X|\leq A|X|$.

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Grâce à l'inégalité triangulaire et en utilisant le fait que $a_{k,j}>0$, on a $$(|AX|)_{k}=|\sum_{j= 1}^pa_{k,j}x_j|\leq\sum_{j= 1}^pa_{k,j}|x_j|=(A|X|)_k,$$ donc $|AX|\leq A|X|$. D'autre part comme $|AX|=|\lambda| |X|=\rho(A)|X|$ la seconde inégalité suit.

c) On pose : $Z=A|X|$. Montrer que $Z>0$.

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Il suffit de calculer les coefficients de $A$ et de se souvenir que $A$ est strictement positive et que comme $X$ est un vecteur propre, $X$ est non nul et l'un des coefficients de $|X|$ est non nul.

d) On pose : $Y=A|X|-\rho(A)|X|$ et on suppose $Y\neq 0$. Etablir les relations : $AY>0$ et $\rho(A)Z<\! AZ$.

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D'après b) $Y=A|X|-\rho(A)|X|\geq 0$ et $Y$ étant non nul, au moins une de ses coordonnées est non nulle. Or $A$ étant strictement positive, en calculant les coordonnées de $AY$, on prouve aisément que toutes ses coordonnées sont non nulles donc strictement positives, d'où $AY>0$. Enfin $AY>0$ implique que $A(A|X|-\rho(A)|X|)$ ce qui implique $AZ>\rho(A)Z$.

e) En déduire que $\rho(A)$ est une valeur propre de $A$ et que $|X|$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\rho(A)$.

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D'après la question précédente, on a vu que si $Y$ est non nul, on a $Z>0$ et $\rho(A)Z<\!AZ$ donc d'après la question 10.c) on en déduit que $\rho(A)<\rho(A)$ ce qui est absurde. Il suit que $0=Y=A|X|-\rho(A)|X|$, c'est à dire que $|X|$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\rho(A)$.

12. On considère deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$ non nuls et vérifiant $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$.

On pose : $z_1=|z_1|e^{i\theta_1}$ et $z_2=|z_2|e^{i\theta_2}$ avec $(\theta_1,\theta_2)\in[0,2\pi[^2$.

a) Montrer que $\theta_1=\theta_2$.

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On a $$\begin{align} |z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|&\Longleftrightarrow |z_1+z_2|^2=(|z_1|+|z_2|)^2\\ &\Longleftrightarrow (z_1+z_2)(\bar z_1+\bar z_2)=|z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1||z_2|\\ &\Longleftrightarrow |z_1|^2+|z_2|^2+z_1\bar z_2+\bar z_1z_2=|z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1||z_2|\\ &\Longleftrightarrow |z_1||z_2|(e^{i(\theta_1-\theta_2)}+e^{-i(\theta_1-\theta_2)})=2|z_1||z_2| \end{align}$$ En utilisant maintenant le fair que $z_1$ et $z_2$ sont non nuls et la formule d'Euler, cette dernière équation est équivalente à $\cos(\theta_1-\theta_2)=1$. Or $\theta_1$ et $\theta_2$ appartiennent à $[0,2\pi[$, donc $\theta_1-\theta_2$ est dans $]-2\pi,2\pi[$ et le cosinus ne prend la valeur 1 qu'en 0 sur cet intervalle, donc $\theta_1=\theta_2$.

b) On considère $p$ nombres complexes $(p\geq 2)$ $z_1,z_2,\dots,z_p$ tous non nuls et vérifiant $\left|\sum_{j=1}^pz_j\right|=\sum_{j=1}^p|z_j|$.

Etablir l'existence d'un réel $\theta$ de $[0,2\pi[$ vérifiant pour tout $j$ de $[\![1,p]\!]$ : $z_j=|z_j|e^{i\theta}$.

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On procède par récurrence. L'initialisation ayant été vérifié dans la question précédente, il suffit de vérifier l'hérédité. Supposons la propriété vraie au rang $p$. Soient $z_1,z_2,\dots,z_p,z_{p+1}$, $p+1$ nombres complexes vérifiant $\left|\sum_{j=1}^{p+1}z_j\right|=\sum_{j=1}^{p+1}|z_j|$. Montrons d'abord que $\left|\sum_{j=1}^{p}z_j\right|=\sum_{j=1}^{p}|z_j|$. Grâce à l'inégalité triangulaire, on a déjà $\left|\sum_{j=1}^{p}z_j\right|\leq\sum_{j=1}^{p}|z_j|$. D'autre part grâce à l'inégalité triangulaire inverse, on a aussi : $$\left|\sum_{j=1}^{p}z_j\right|=\left|\sum_{j=1}^{p+1}z_j-z_p\right|\geq\left|\sum_{j=1}^{p+1}z_j\right|-|z_p|=\sum_{j=1}^{p+1}|z_j|-|z_p|=\sum_{j=1}^{p}|z_j|.$$ Donc $\left|\sum_{j=1}^{p}z_j\right|=\sum_{j=1}^{p}|z_j|$. Par l'hypothèse de récurrence $z_1,z_2,\dots,z_p$ ont le même argument $\theta$ dans $[0,2\pi[$. En répétant l'opération avec $z_2,z_3,\dots,z_p,z_{p+1}$, on montre qu'eux aussi ont le même argument dans $[0,2\pi[$ et donc forcément $z_1,z_2,\dots,z_p,z_{p+1}$ ont tous le même argument dans $[0,2\pi[$.

13. Montrer que $|X|>0$ et que $|AX|=A|X|$. En déduire l'existence d'un réel $\theta$ de $[0,2\pi[$ tel que $X=|X|e^{i\theta}$.

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Si l'une des coordonnées de $|X|$ était nulle, $|X|$ étant une valeur propre avec $A|X|=\rho(A)|X|$, on aurait qu'une des coordonnées de $A|X|$ serait nulle. Or cette dernière affirmation est impossible d'après 11.c), donc $|X|>0$. Maintenant $X$ étant vecteur propre de $A$ de valeur propre $\lambda$ vérifiant $|\lambda|=\rho(A)$, on a $|AX|=|\lambda||X|=\rho(A)|X|=A|X|$, d'où la seconde égalité. Si on écrit en coordonnées cette dernière relation, on a $$|\sum_{j=1}^pa_{k,j}x_j|=\sum_{j=1}^pa_{k,j}|x_j|.$$ Or les $a_{k,j}$ étant réels positifs, on a aussi $$|\sum_{j=1}^pa_{k,j}x_j|=\sum_{j=1}^pa_{k,j}|x_j|.$$ Mais d'après 12.b), on en déduit que les $a_{k,j}x_j$ ont tous le même argument dans $[0,2\pi[$ et donc comme les $a_{k,j}$ sont réels positifs, non nuls, tous les $x_j$ ont le même argument dans $[0,2\pi[$. Ceci prouve la dernière relation.

14. a) Montrer que $\rho(A)$ est l'unique valeur propre de $A$ de module maximal.

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Il est sous-entendu que nous travaillons dans un $\mathbb C$-espace vectoriel. $X$ est un vecteur propre de valeur propre $\lambda$ et $|X|$ est vecteur propre de valeur propre $|\lambda|=\rho(A)$. Or d'après la question précédente $X=|X|e^{i\theta}$, donc $X$ et $|X|$ sont colinéaires (au sens d'un $\mathbb C$-espace vectoriel). Ils appartiennent donc au même sous espace propre et ont donc la même valeur propre associée et donc $\lambda=\rho(A)$. D'où le résultat.

b) On suppose qu'il existe deux vecteurs propres $U=\begin{pmatrix}u_1\\ \vdots\\ u_p\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix}v_1\\ \vdots\\ v_p\end{pmatrix}$ de la matrice associés à la valeur propre $\rho(A)$, linéairement indépendants.

En considérant le vecteur $u_1V-v_1U$ aboutir à une contradiction. En déduire la dimension du sous-espace propre associé à $\rho(A)$.

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On a vu dans la question 13 qu'un vecteur propre de valeur propre $\rho(A)$ vérifie $|X|>0$ donc toutes ses composantes sont non nulles. Or $u_1V-v_1U$ est non nul car $U$ et $V$ sont linéairement indépendants donc est un vecteur propre de valeur propre $\rho(A)$ dont sa première composante nulle ce qui est impossible. On en déduit que l'espace propre associé à $\rho(A)$ est de dimension 1.

15. a) Montrer que $A$ et $^tA$ ont les mêmes valeurs propres.

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Le rang étant inchangé par transposition, on remarque que $rg(A-\lambda I)=rg(^t(A-\lambda I))=rg(^A-\lambda I)$. Il suit par le théorème du rang que $Ker(A-\lambda I)$ et $Ker(^tA-\lambda I)$ ont même dimension et donc que $A$ et $^tA$ ont les mêmes valeurs propres.

b) Soit $Z$ un vecteur propre de $^tA$ associé à la valeur propre $\rho(A)$. Justifier que les coordonnées de $Z$ sont toutes strictement positives ou toutes strictement négatives.

Remarque : L'énoncé en l'état est faux car comme nous travaillons dans un $\mathbb C$-espace vectoriel, $Z$ n'a aucune raison d'avoir tous ses coefficients réel. La question qui aurait du être posée est la suivante :

b) Montrer qu'il existe un vecteur propre $Z$ de $^tA$ associé à la valeur propre $\rho(A)$ dont les coefficients sont réels. Justifier que les coordonnées de $Z$ peuvent être choisies toutes strictement positives.

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$A$ étant à valeurs strictements positives, $^tA$ aussi et donc on peut appliquer tous ce qu'on a établi pour $A$ à $^tA$. Comme $A$ et $^tA$ ont les mêmes valeurs propres, le module maximal des valeurs propres de $A$ et $^tA$ sont les mêmes et donc $\rho(A)=\rho(^tA)$. On a vu qu'il existe un vecteur $X$ tel que $|X|$ est un vecteur propre de $^tA$ associé à la valeur propre $\rho(^t A)=\rho(A)$. Or $|X|$ est à coefficients réels donc on pose $Z=|X|$. Enfin d'après la question 13, $Z$ a toutes ses coordonnées strictements positives.

c) Soit $U$ un vecteur propre de $A$ vérifiant $U>0$, associé à la valeur propre $\rho(A)$. On pose : $Y=\frac{1}{^tZU}Z$.

Etablir les relations suivantes : $Y>0$, $^tAY=\rho(A)Y$ et $^tYU=1$.

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Comme $U>0$ et $Z>0$, on a $^tZU>0$ et donc $Y=\frac{1}{^tZU}Z>0$. $Z$ étant vecteur propre de $^tA$ associé à la valeur propre $\rho(A)$, la seconde relation est immédiate. La dernière relation est un tout petit calcul.

16. Soit $M$ la matrice de ${\cal M}_p(\mathbb R)$ définie par $M=U^tY$, où $U$ a été définie dans la question 15.c).

a) Montrer que $M$ est la matrice d'un projecteur de $\mathbb R^p$ dont on précisera l'image et le noyau.

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Cette fois ci nous travaillons dans $\mathbb R^p$ donc dans un $\mathbb R$ espace vectoriel. Comme $^tUY=1$, on a déjà $M^2=U(^tYU)^tY=U^tY=M$ donc $M$ est la matrice d'un projecteur. On observe ensuite, toujours grâce à $^tUY=1$, que $MU=U$. On en déduit que $U\in Im(M)$ et par conséquent $rg(M)\geq dim(Vect(U))\geq 1$. D'autre part, on observe que pour tout $X\in (Vect(Y))^\bot$, $\langle X,Y\rangle=0$ et donc $MX=0$. La dimension de $(Vect(Y))^\bot$ étant de $p-1$, on a $dim(Ker(M))\geq dim((Vect(Y))^\bot)=p-1$. Grâce au théorème du rang, les inégalités $rg(M)\geq 1$ et $dim(Ker(M))\geq p-1$, implique en fait que $rg(M)= 1$ et $dim(Ker(M))= p-1$ et donc par un argument de dimension que $Im(M)=Vect(U)$ et $Ker(M)=(Vect(Y))^\bot$.

b) Etablir pour tout $n$ de $\mathbb N^*$, la relation : $\left(\frac{1}{\rho(A)}A-M\right)^n=\left(\frac{1}{\rho(A)}A\right)^n-M$.

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On va montrer que pour tout $X\in\mathbb R^p$, $\left(\frac{1}{\rho(A)}A-M\right)^nX=\left(\frac{1}{\rho(A)}A\right)^nX-MX$. Or grâce à la question précédente, on a $\mathbb R^p=Ker(M)+Im(M)$ donc il suffit de montrer la relation pour $X$ dans $Ker(M)$ et dans $Im(M)$.

Commençons par $X\in Im(M)$. Puisque $Im(M)=Vect(U)$, il suffit de montrer la relation pour $X=U$. Or comme $AU=\rho(A)U$ et $MU=U$, on a $\left(\frac{1}{\rho(A)}A-M\right)U=U$ et donc $(\frac{1}{\rho(A)}A-M)^nU=U$. D'autre part $\left(\left(\frac{1}{\rho(A)}A\right)^n-M\right)U=U$. On a donc bien égalité pour $X\in Im(U)$.

Maintenant pour $X\in Ker(M)$, on se souvient que $Ker(M)=(Vect(Y))^\bot$ avec $Y$ vecteur propre de $^tA$ associé à la valeur propre $\rho(A)$. On a alors que pour $X\in (Vect(Y))^\bot$, $\langle Y,AX\rangle=\langle^tY,X\rangle=\rho(A)\langle X,Y\rangle=0$. On en déduit que $(Vect(Y))^\bot$ est stable par $A$. Maintenant comme $X\in Ker(M)$, on a aussi $\left(\frac{1}{\rho(A)}A-M\right)X=\frac{1}{\rho(A)}AX$ puis comme $AX$ est lui même dans $Ker(M)$ par stabilité par $A$, on a aussi $$\left(\frac{1}{\rho(A)}A-M\right)^2X=\left(\frac{1}{\rho(A)}A-M\right)\frac{1}{\rho(A)}AX=\left(\frac{1}{\rho(A)}A\right)^2X.$$ En procédant ainsi par réuccrence, on a alors $\left(\frac{1}{\rho(A)}A-M\right)^nX=\left(\frac{1}{\rho(A)}A\right)^nX=\left(\frac{1}{\rho(A)}A\right)^nX-MX$ (car MX=0). Ce qu'il fallait démontrer.

17. Soit $\mu$ une valeur propre non nulle de $(A-\rho(A)M)$ et $W$ un vecteur propre de $(A-\rho(A)M)$ associée à $\mu$.

a) Montrer que $MW=0$. En déduire que $\mu$ est également une valeur propre de $A$ et que $|\mu|\leq\rho(A)$.

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Grâce aux résultats de 16, on peut décomposer $W=W_U+W_\bot$ où $W_U\in Vect(U)=Im(M)$ et $W\in Ker(M)$. On a alors $$(A-\rho(A)M)W=(A-\rho(A)M)W_U+(A-\rho(A)M)W_\bot=\rho(A)W_U-\rho(A)W_U+AW_\bot=AW_\bot.$$ Mais on a vu dans 16.b) que $Ker(M)$ était stable par $A$ donc $AW_\bot$ est dans $Ker(M)$. Enfin comme $\mu W=(A-\rho(A)M)W=AW_\bot$ et que $\mu$ est non nul, on en déduit que $W$ lui-même est dans $Ker(M)$, d'où $MW=0$. D'autre part comme $MW=0$, l'égalité $(A-\rho(A)M)W=\mu W$ s'écrit aussi $AW=\mu W$ donc $\mu$ est valeur propre de A. Enfin par définition de $\rho(A)$, on a $|\mu|\leq\rho(A)$.

b) En raisonnant par l'absurde et en utilisant la question 14.a), montrer que $|\mu|<\! \rho(A)$.

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Supposons que $|\mu|=\rho(A)$, d'après 13 $\rho(A)$ est la seule valeur propre de module maximum donc $\mu=\rho(A)$. Or l'espace propre associé à $\rho(A)$ est de dimension 1 d'après 13.b) donc est engendré par $U$. On en déduit que $W\in Vect(U)=Im(M)$. Mais $W\in Ker(M)$ donc $W\in Ker(M)\cap Im(M)=\{0\}$ et $W=0$ ce qui est une contradiction.

c) Déduire des résultats précédents que $\rho(A-\rho(A)M)<\!\rho(A)$ et que $\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{\rho(A)}A\right)^n=M$.

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On a vu qu'une valeur propre $\mu$ de $(A-\rho(A)M)$ vérifie $|\mu|<\rho(A)$ donc $\rho(A-\rho(A))<\rho(A)$. On en déduit que $\rho\left(\frac{1}{\rho(A)}A-M\right)<\!1$. Or d'après le résultat admis dans la fin de la partie II, cela implique que $\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{\rho(A)}A-M\right)^n=0$. Enfin d'après 16.b) on a $\left(\frac{1}{\rho(A)}A-M\right)^n=\left(\frac{1}{\rho(A)}A\right)^n-M$ donc le résultat suit.

Partie V. Un algorithme de calcul de $\rho(A)$ et d'un vecteur propre associé

On munit l'espace vectoriel $\mathbb R^p$ du produit sclaire canonique. On note $\Vert.\Vert$ la norme Euclidienne associée.

Soit $A$ une matrice de ${\cal M}_p(\mathbb R)$ strictement positive, symétrique, admettant $p$ valeurs propres disctinstes $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_p$ telles que $|\lambda_1|>|\lambda_2|>\dots>|\lambda_p|$. Soit $V_0$ un vecteur de $\mathbb R^p$ tel que $V_0>0$. Soit $(e_1,e_2,\dots,e_p)$ une base orthonormée de $\mathbb R^p$ formées des vecteurs propres de $A$ tels que pour tout $k$ de $[\![1,p]\!]$, $Ae_k=\lambda_ke_k$.

On rappelle qu'une suite $(X_n)_{n\in\mathbb N}$ de vecteurs de $\mathbb R^p$ converge vers un vecteur $L$ de $\mathbb R^p$ si $\lim_{n\to+\infty}\Vert X_n-L\Vert=0$, et on note : $\lim_{n\to+\infty}X_n=L$.

On définit la suite $(V_n)_{n\in\mathbb N}$ de vecteurs de $\mathbb R^p$ par : $V_0$, et pour tout $n$ de $\mathbb N$, $V_{n+1}=AV_n$.

18. a) Soit $V_0=\sum_{k=1}^ps_ke_k$, la décomposition de $V_0$ dans la base $(e_1,e_2,\dots,e_p)$. Montrer que $s_1\neq 0$.

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D'après la question 15. b) $e_1$ a toutes ses coordonnées strictement positives ou strictement négatives alors comme $V>0$, on a $\langle V_0,e_0\rangle\neq 0$. Or $(e_i)_i$ étant une base orthonormée et ayant l'égalité $V_0=\sum_{k=1}^ps_ke_k$, on a aussi $\langle V_0,e_0\rangle=s_0$ donc $s_0\neq 0$.

b) Etablir la relation : $\lim_{n\to+\infty}\frac{\Vert V_{n+1}\Vert}{\Vert V_{n}\Vert}=\lambda_1$.

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$(e_i)_i$ étant une base orthonormée, on a $$\Vert V_n\Vert=\Vert\sum_{k=1}^p\lambda^n_ks_ke_k\Vert=\sqrt{\sum_{k=1}^p\lambda^{2n}_ks^2_k}.$$ En factorisant par $\lambda_1$, et en se souvenant que $\lambda_1=|\lambda_1|$ on a alors : $$\frac{\Vert V_{n+1}\Vert}{\Vert V_n\Vert}=\frac{\sqrt{\sum_{k=1}^{p}\lambda^{2n+2}_ks^2_k}}{\sqrt{\sum_{k=1}^p\lambda^{2n}_ks^2_k}}= \lambda_1\frac{\sqrt{\sum_{k=1}^{p}\frac{\lambda^{2n+2}_k}{\lambda_1^{2n+2}}s^2_k}}{\sqrt{\sum_{k=1}^p \frac{\lambda^{2n}_k}{\lambda_1^{2n}}s^2_k}}= \lambda_1\frac{\sqrt{s_1^2+\sum_{k=2}^{p}\frac{\lambda^{2n+2}_k}{\lambda_1^{2n+2}}s^2_k}}{\sqrt{s_1^2+\sum_{k=2}^p \frac{\lambda^{2n}_k}{\lambda_1^{2n}}s^2_k}}.$$ Enfin en utilisant le fait que $\lambda_1$ est la valeur propre de module maximal, on a que $\frac{\lambda_k^n}{\lambda_1^n}$ tend vers 0 pour $k>1$ et le résultat suit.

c) Déterminer $\lim_{n\to+\infty}\frac{V_n}{\Vert V_n\Vert}$ (on distinguera deux cas suivant le signe de $s_1$).

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Comme dans la question précédente, en factorisant par $\lambda_1 s_1$, on trouve $\lim_{n\to+\infty}\frac{V_n}{\Vert V_n\Vert}=\lambda_1$ si $s_1$ est positif et $\lim_{n\to+\infty}\frac{V_n}{\Vert V_n\Vert}=-\lambda_1$ si $s_1$ est négatif.

19. On suppose déja définis en Pascal les objets suivants :

Const p=...
Type vecteur=array[1..p] of real;
	matrice=array[1..p,1..p] of real;

ainsi que les fonctions et procédures suivantes :

Function norme(V : vecteur) : real; (calcul de la norme du vecteur V)
Procedure prodmat(A : matrice;V : vecteur; var W : vecteur)); (W=AV)
Procedure affecte(V : vecteur; var W : vecteur); (W prend la valeur V)

a) Ecrire la procédure d'en-tête puissance(A : matrice; n : integer; V0 : vecteur; var V : vecteur) qui calcule pour tout entier naturel $n$ non nul, le vecteur $V_n$ défini ci-dessus.

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procedure puissance(A : matrice; n : integer; V0 : vecteur; var V : vecteur)
begin
var i : int;
var Vec : vecteur;
affecte(V0,Vec);
	for i:=1 to n
	begin
		prodmat(A,Vec,Vec);
	end
affecte(Vec,V);
end

b) Ecrire une procédure d'en-tête vectpropre(A : matrice; n : integer; V0 : vecteur; var V : vecteur) qui calcule la valeur propre approchée d'un vecteur propre associé à $\lambda_1$ obtenue pour une valeur $n$ donnée, et une fonction d'en-tête valpropre(A : matrice;n : integer; V0 : vecteur) : real qui calcule la valeur approchée de $\lambda_1$ obtenue pour une valeur de $n$ donnée.

On expliquera les différentes étapes des procédures proposées.

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Pour le vecteur propre on utilise la formule établie en 18.c).

procedure vectpropre(A : matrice;n : integer; V0 : vecteur, var V : vecteur)
begin
var norm : real;
var i : int;
puissance(A,n,V0,V);
norm:=norme(V);
	for i:=1 to p
	begin
	V[i]:=V[i]/norm;
	end
end

Pour la valeur propre, on utilise la formule établie en 18.b)

function valpropre(A : matrice;n : integer; V0 : vecteur) : real
begin
var V1 : vecteur;
var V2 : vecteur;
puissance(A,n,V0,V1);
puissance(A,n+1,V0,V2);
valpropre := norme(V2)/norme(V1);
end

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