Cours et vidéos

Cours en ligne Vidéos classées

Concours corrigés

HECS
HECE

Programme de concours

HECS

Chaîne Youtube


Pour me soutenir



Autour du site

Auteur du site.


Partie III. Transport optimal dans une situation aléatoire


Les définitions de fonction de transport et de coût de transport sont identiques à celles données dans le préambule de la partie I.

Dans toute cette partie $U$ désigne une variable aléatoire vérifiant $U(\Omega)=[0,1]$ et suivant la loi uniforme sur le segment $[0,1]$.

Soit $Y$ une variable aléatoire admettant une densité $f_Y$ nulle hors d'un segment $[\alpha,\beta],\ (\alpha<\beta)$ et dont la restriction à ce segment est continue et strictement positive. On note $F_Y$ la fonction de répartition de $Y$.

On suppose l'existence d'une fonction $g$ de classe ${\cal C}^1$ sur $[0,1]$, à valeurs dans $[\alpha,\beta]$, telle que la variable aléatoire $Z=g(U)$ suit la même loi que $Y$.

12. Pour tout entier $N\geq 1$, on pose pour tout $\omega\in\Omega$ : $$X_N(\omega)=\begin{cases} [1+NU(\omega)] & \text{ si } & 0\leq U(\omega)<\! 1\\ N & \text{ si } & U(\omega)=1 \end{cases} \space\text{ et }\space Y_N(\omega)=g\left(\frac{X_N(\omega)}{N}\right).$$

a) Trouver la loi de la variable aléatoire $X_N$.

Afficher

Référence programme : VII-6.

On observe que $X_N(\Omega)=[\![1,N]\!]$. Soit $k\in [\![1,N-1]\!]$, on a : $$P(X_N=k)=P(k\leq 1+NU<\! k+1)=P\left(\frac{k-1}{N}\leq U<\! \frac{k}{N}\right)=\frac{1}{N}.$$ D'autre part, par la formule des proba totales : $$P(X_N=N)=P_{U\in[0,1[}(X_N=N)P(U\in[0,1[)+P_{U=1}(X_N=N)P(U=1),$$ mais comme $P(U=1)=0$ et $P(U\in[0,1[)=1$, on a : $$P(X_N=N)=P_{U\in[0,1[}(X_N=N)=P(N\leq 1+NU<\! N+1)=P\left(\frac{N-1}{N}\leq U<\! 1\right)=\frac{1}{N}.$$ Il suit que $X_N$ suit une loi uniforme sur $[\![1,N-1]\!]$.

b) Etablir l'existence d'une constante $\lambda>0$, indépendante de $N$ telle que : $\forall\omega\in\Omega,\ \left|Z(\omega)-Y_N(\omega)\right|\leq\frac{\lambda}{N}$.

Afficher

Référence programme : V-3.

Commençons par le cas où $\omega$ vérifie $0\leq U(\omega)<\! 1$. On a $$|Z(\omega)-Y_N(\omega)|=\left|g(U(\omega))-g\left(\frac{[1+NU(\omega)]}{N}\right)\right|.$$ Comme $g$ est de classe $C^1$ sur $[0,1]$, grace à l'inégalité des accroissements finis on a : $$|Z(\omega)-Y_N(\omega)|\leq \sup_{x\in[0,1]}|g'(x)|\left|U(\omega)-\frac{[1+NU(\omega)]}{N}\right|=\sup_{x\in[0,1]}|g'(x)|\left|\frac{NU(\omega)-[1+NU(\omega)]}{N}\right|\leq\sup_{x\in[0,1]}|g'(x)|\frac{1}{N}.$$ Donc en posant $\lambda=\sup_{x\in[0,1]}|g'(x)|$, l'inégalité à lieue pour $0\leq U(\omega)<\! 1$. Considérons maintenant le cas où $U(\omega)=1$, on a : $$|Z(\omega)-Y_N(\omega)|=|g(1)-g(1)|=0,$$ et l'inégalité a aussi lieue, d'où le résultat.

c) Montrer que pour tout réel $y$, on a $F_Y\left(y-\frac{\lambda}{N}\right)\leq P(Y_N<\! y)$.

Afficher

Référence programme : VII-3.

On a que : $$P(Y_N<\! y)=P(Y_N-Z+Z<\! y)=P(Z<\! y-(Y_N-Z)).$$ Or d'après 12.b $-(Y_N-Z)\geq-\frac{\lambda}{N}$ donc $$Z<\! y-\frac{\lambda}{N}\Longrightarrow Z<\! y-(Y_N-Z)$$ soit encore $$P\left(Z<\! y-\frac{\lambda}{N}\right)\leq P(Z<\! y-(Y_N-Z)).$$ Il suit alors que : $$P(Y_N<\! y)=P(Z<\! y-(Y_N-Z))\geq P\left(Z<\! y-\frac{\lambda}{N}\right)=F_Y\left(y-\frac{\lambda}{N}\right)$$ car $Y$ et $Z$ sont de même loi.

13. Pour tout $k\in[\![1,N]\!]$, on pose : $t_N(k)=g\left(\frac{k}{N}\right)$. On définit alors $\hat t_N$ à partir de $t_N$, comme $\hat t$ à partir de $t$ dans la question 9.

a) Etablir pour tout $k\in[\![1,N]\!]$, les inégalités : $F_Y\left(\hat t_N(k)-\frac{\lambda}{N}\right)\leq P(Y_N<\! \hat t_N(k))<\! \frac{k}{N}$.

Afficher

Référence programme : VII-3.

L'inégalité $F_Y\left(\hat t_N(k)-\frac{\lambda}{N}\right)\leq P(Y_N<\! \hat t_N(k))$ provient directement de 12.c). Reste à voir $P(Y_N<\! \hat t_N(k))<\! \frac{k}{N}$. Or, d'après 12.a), comme $X_N$ suit une loi uniforme sur $[\![1,N]\!]$ on a $$\displaystyle P(Y_N<\! \hat t_N(k))=P\left(g\left(\frac{X_N}{N}\right)<\! \hat t_N(k)\right)=\sum_{i\in[\![1,N]\!]/g\left(\frac{i}{N}\right)<\!\hat t_N(k)}\frac{1}{N}.$$ Or par définition $\hat t_N(k)$ est le k-ième élément de $g\left(\frac{1}{N}\right),\dots,g\left(\frac{N}{N}\right)$ une fois ordonné. Il n'y a donc pas plus de k-1 indices i de $[\![1,N]\!]$ vérifiant $g\left(\frac{i}{N}\right)<\!\hat t_N(k)$. La somme de droite est donc strictement majoré par $\frac{k}{N}$ soit $$\displaystyle P(Y_N<\! \hat t_N(k))=\sum_{i\in[\![1,N]\!]/g\left(\frac{i}{N}\right)<\!\hat t_N(k)}\frac{1}{N}<\! \frac{k}{N},$$ d'où le résultat.

b) On note $F_Y^{-1}$ la fonction réciproque de la restriction à $[\alpha,\beta]$ de la fonction $F_Y$.

Montrer que pour tout entier $N\geq 1$, on a : $\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\frac{k}{N}g\left(\frac{k}{N}\right)\leq\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\frac{k}{N}\left(F_Y^{-1}\left(\frac{k}{N}\right)+\frac{\lambda}{N}\right)$.

Afficher

Référence programme : I-4.

Grâce à l'inégalité (2), on a : $$\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\frac{k}{N}g\left(\frac{k}{N}\right)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\frac{k}{N}t_N(k)\leq \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\frac{k}{N}\hat t_N(k).$$ Or d'après 9., on a $F_Y\left(\hat t_N(k)-\frac{\lambda}{N}\right)<\! \frac{k}{N}$, donc par croissance de $F_Y^{-1}$ (car $F_Y$ est une fonction de répartition donc croissante) : $$\hat t_N(k)-\frac{\lambda}{N}\leq F_Y^{-1}\left(\frac{k}{N}\right)\Longrightarrow \hat t_N(k)\leq\frac{\lambda}{N}+F_Y^{-1}\left(\frac{k}{N}\right),$$ et le résultat suit facilement.

c) En déduire l'inégalité : $E(Ug(U))\leq E(UF_Y^{-1}(U))$.

Afficher

Référence programme : V-4.

On va passer à la limite en $N$ dans l'inégalité de la question précédente. $g$ étant continue, par le théorème de Riemann $$\lim_{N\to+\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\frac{k}{N}g\left(\frac{k}{N}\right)=\int_0^1xg(x)dx=E(Ug(U)).$$ D'autre part $\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\frac{k}{N}\left(F_Y^{-1}\left(\frac{k}{N}\right)+\frac{\lambda}{N}\right)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\frac{k}{N}F_Y^{-1}\left(\frac{k}{N}\right)+\frac{1}{N^3}\sum_{k=1}^Nk$. Toujours grâce à Riemann, on a $$\lim_{N\to+\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\frac{k}{N}F_Y^{-1}\left(\frac{k}{N}\right)=\int_0^1xF^{-1}_Y(x)dx=E(UF^{-1}_Y(U)),$$ et par un petit calcul on a aussi $$\lim_{N\to+\infty}\frac{1}{N^3}\sum_{k=1}^Nk=\lim_{N\to+\infty}\frac{1}{N^3}\frac{N(N+1)}{2}=0.$$ Et le résultat suit.

14.a) Parmi les fonctions de transport de classe ${\cal C}^1$ de $U$ vers la loi de $Y$, trouver une fonction de transport $T^*$ de coût minimal.

Afficher

Référence programme : I-3.

D'après 13.c), on a $$\begin{align} C(g)&=E((U-g(U))^2)\\ &=E(U^2)-2E(Ug(U))+E((g(U)^2)\\ &=E(U^2)-2E(Ug(U))+E(Y^2)\\ &\geq E(U^2)-2E(UF_Y^{-1}(U))+E((F_Y^{-1}(U))^2)\\ &=E((U-F_Y^{-1}(U))\\ &=C(F_Y^{-1}(U)). \end{align}$$ Par conséquent le coût de transport ne peut pas être inférieur à celui de $F_Y^{-1}$. Or $Y$ a une densité continue strictement positive sur $[\alpha,\beta]$, donc $F_Y$ est $C^1$ strictement croissante, de dérivée jamais nulle, de $[\alpha,\beta]$ dans $[0,1]$ et donc $F^{-1}_Y$ est $C^1$ sur $[0,1]$. Une fonction de transport recherchée de coût minimal est donc $F_Y^{-1}$.

b) On suppose que $Y=|4U-2|$. Déterminer $T^*$ et $C(T^*)$.

Afficher

Référence programme : VII-12.

On observe que $Y(\Omega)=[0,2]$. Soit $x\in[0,2]$, on a $$F_Y(x)=P(|4U-2|\leq x)=P\left(\frac{-x+2}{4}\leq U\leq \frac{x+2}{2}\right)=\frac{x}{2}.$$ Il suit en dérivant la fonction de répartition que $Y$ a une densité égale à $\frac{1}{2}$ sur $[0,2]$ donc strictement positive et nulle en dehors de $[0,2]$. Nous somme donc dans les hypothèses de cette partie. Une fonction de transport minimisant le coût est alors $T^*:[0,1]\to[1,2],x\mapsto 2x$ (la fonction réciproque de $F_Y$ sur $[0,1]$). Calculons son coût : $$C(T^*)=E((U-2U)^2)=E(U^2)=\frac{1}{3}.$$

Pour afficher le fil des commentaires : Commentaires.


Pour poster un commentaire ou obtenir de l'aide : c'est ici!




Formulaire

L'insertion de formules suit la syntaxe LATEX. Toute formule doit être encadrée par des dollars : $\bf{\$formule\$}$. Par exemple $\bf{\$ u\_n \$}$ sera interprétée comme une formule et donnera $\bf{u_n}$. Voici quelques exemples pour ceux qui ne sont pas habitués :

Contacter l'auteur du site : frederic.millet @ math-sup.fr