Le contexte de cette partie est identique à celui de la partie II.
Dans cette partie, on note $T$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Si $U$ est une variable aléatoire et $s$ un réel tels que la variable aléatoire $\exp(sU)$ admettent une espérance, on pose : $L_U(s)=E(\exp(sU))$. (il y avait une erreur dans le sujet initial où il était posé : $L_U(s)=\exp(sU)$.)
9. Soit $J$ une variable aléatoire qui suit la loi de Bernouilli de paramètre $p$ ($0<\! p<\! 1$).
a) Calculer pour tout $s$ réel, $L_J(s)$.
Si $s=0$, $\exp(sJ)=1$ donc $L_J(0)=1$, sinon : $$\exp(sJ)=\begin{cases}\exp(s)\text{ si }J=1\\ 1\text{ si }J=0\end{cases}$$ et on en déduit que $L_J(s)=p\exp(s)+(1-p)$.
b) Etablir pour tout $s$ réel, l'existence de $L_T(s)$.
Il faut montrer que $E(\exp(sT))$ existe, c'est à dire que $\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(st)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt$ existe. On remarque déjà que pour $s=0$, $E(\exp(sT))=E(1)=1$ donc existe. Pour $s$ différent de $0$, il faut établir l'existence de l'intégrale aux infinis. Or par croissance comparée $\lim_{t\to\pm\infty}t^2\exp(st)e^{-t^2/2}$ donc $\exp(st)e^{-t^2/2}\underset{t\to\pm\infty}{=}o\left(\frac{1}{t^2}\right)$ et on conclut à l'aide de Riemann et de la règle des "petits o".
c) Calculer pour tout $s$ réel, $L_T(s)$. En déduire que pour tout couple $(\theta,\sigma)$ de $\mathbb R\times\mathbb R^{+*}$ et pour tout $s$ réel, on a : $L_{\sigma T+\theta}(s)=\exp\left(\sigma^2\frac{s^2}{2}+\theta s\right)$.
On a pour $s\neq 0$ $$L_T(s)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{st-t^2/2}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}(t-s)^2+s^2/2}dt=\frac{e^{s^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}(t-s)^2}dt.$$ Or $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(t-s)^2}$ est une densité de loi normale donc son intégrale sur $\mathbb R$ vaut $1$ et donc : $L_T(s)=e^{s^2/2}$. On en déduit alors que : $$L_{\sigma T+\theta}(s)=E(s(\sigma T+\theta))=e^{s\theta}E(s\sigma T)=e^{s\theta}L_T(s\sigma)=\exp\left(\sigma^2\frac{s^2}{2}+\theta s\right).$$
Dans les questions 10 et 11, $x$ est un réel fixé.
10. On pose pour tout $n$ de $\mathbb N^*$ : $y_n=M+\frac{x}{\sqrt{n}}$, $q_n=F_X(y_n)$ et $k(n)=[n/2]+1$.
a) Montrer que l'on a : $k(n)=\frac{n}{2}+o(\sqrt{n})$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
On a $\frac{n}{2}-1\leq\left[\frac{n}{2}\right]\leq\frac{n}{2}$ d'où l'on déduit que $0\leq k(n)-\frac{n}{2}\leq 1$ et que $0\leq\frac{k(n)-n/2}{\sqrt{n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n}}$. Par encadrement on a alors $\lim_{n\to+\infty}\frac{k(n)-n/2}{\sqrt{n}}=0$ d'où le résultat.
b) En appliquant la formule de Taylor-Young à la fonction $F_X$ au voisinage de $M$, justifier la relation : $$q_n=\frac{1}{2}+\frac{x}{\sqrt{2\pi n}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$$
On applique Taylor à l'ordre 1 $$F_X(x)=F_X(M)+F'_X(M)(x-M)+o(x-M).$$ Or par définition de $M$, $F_X(M)=\frac{1}{2}$. $F_X$ étant la fonction de répartition de $X$, on a aussi $F'_X(x)=f_X(x)$. Or d'après le commentaire du début de la partie III, le contexte étant identique à la partie II, $f_X$ est donc la densité d'une loi normale centrée en $\theta=M$, donc $f_X(M)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$. En injectant tout cela dans la formule ci dessus on trouve $$q_n=F_X(y_n)=F_X\left(M+\frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{1}{2}+\frac{x}{\sqrt{2\pi n}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).$$
c) Soit $(u_n)_{n\in \mathbb N^*}$ la suite définie par : pour tout $n$ de $\mathbb N^*$, $u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}(k(n)-nq_n)$.
Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb N^*}$ est convergente et déterminer sa limite $u$.
Grâce aux formules précédentes : $k(n)-nq_n=\frac{x\sqrt{n}}{\sqrt{2\pi}}+o(\sqrt{n})$ et donc $u_n=\frac{x}{\sqrt{2\pi}}+o(1)$ et $\lim_{n\to+\infty}u_n=\frac{x}{\sqrt{2\pi}}$.
11. On pose pour tout $n$ de $\mathbb N^*$ : $W_n=\frac{1}{\sqrt{n}}(S_n(y_n)-nq_n)$, où $S_n(y_n)$ a été défini dans le préambule de la partie I.
a) Etablir pour tout réel $s$, la relation : $$L_{W_n}(s)=\exp(-s\sqrt{n}q_n)\left(1+q_n\exp\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)-q_n\right)^n$$
Par définition $$L_{W_n}(s)=e^{-q_ns\sqrt{n}}E\left(\exp\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nJ_i\right)\right)=e^{-q_ns\sqrt{n}}E\left(\prod_{i=1}^n\exp\left(\frac{s}{\sqrt{n}}J_i\right)\right).$$ Or les $J_i$ étant indépendants de même loi de Bernouilli de proba $P(X\leq y_n)=F_X(y_n)=q_n$, on a $$L_{W_n}(s)=e^{-q_ns\sqrt{n}}\prod_{i=1}^nE\left(\exp\left(\frac{s}{\sqrt{n}}J_i\right)\right)=e^{-q_ns\sqrt{n}}\left(E\left(\exp\left(\frac{s}{\sqrt{n}}J_i\right)\right)\right)^n=e^{-q_ns\sqrt{n}}\left( 1+q_n\exp\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)-q_n \right)^n,$$ où la dernière égalité a été obtenue à l'aide de la question 9.a).
b) En utilisant un développement limité à l'ordre 2, montrer que l'on a : $\ln(L_{W_n}(s))=\frac{s^2}{8}+o(1)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. En déduire l'égalité : $\lim_{n\to+\infty}L_{W_n}(s)=L_{\frac{T}{2}}(s)$.
On a $$\ln(L_{W_n}(s))=-s\sqrt{n}q_n+n\ln\left(1+q_n\exp\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)-q_n\right),$$ donc on peut développer $\exp$ à l'ordre 2 $$\ln(L_{W_n}(s))=-s\sqrt{n}q_n+n\ln\left(1+q_n\frac{s}{\sqrt{n}}+q_n\frac{s^2}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right),$$ puis comme $q_n$ a une limite finie, on peut développer $\ln$ à l'odre 2 $$\ln(L_{W_n}(s))=-s\sqrt{n}q_n+n\left(q_n\frac{s}{\sqrt{n}}+q_n\frac{s^2}{2n}-q_n^2\frac{s^2}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)=q_n\frac{s^2}{2}-q_n^2\frac{s^2}{2}+o(1).$$ Enfin comme $q_n=\frac{1}{2}+o(1)$, on a $$\ln(L_{W_n}(s))=\frac{s^2}{8}+o(1).$$ Pour l'autre limite, c'est une simple conséquence de 9.c).
12. On suppose que $x=0$. Quels sont les arguments qui permettent d'obtenir directement le résultat final de la question 11.b)?
Pour $x=0$, $W_n$ tend en loi vers une loi normale d'après le théorème central limite.
13. a) Etablir pour tout $n$ de $\mathbb N^*$ et pour tout $x$ réel, les égalités d'évènements suivantes : $$[\sqrt{n}(Y_{k(n)}-M)\leq x]=[S_n(y_n)\geq k(n)]=[W_n\geq u_n]$$
On raisonne par équivalence $$\begin{align} &\sqrt{n}(Y_{k(n)}-M)\leq x\\ &\Longleftrightarrow Y_{k(n)}\leq\frac{x}{\sqrt{n}}+M\\ &\Longleftrightarrow \forall i\leq k(n),Y_{i}\leq\frac{x}{\sqrt{n}}+M\\ &\Longleftrightarrow\forall i\leq k(n),Y_{i}\leq y_n\\ &\Longleftrightarrow S_n(y_n)\geq k(n)\text{ d'où la première égalité}\\ &\Longleftrightarrow \frac{1}{\sqrt{n}}(S_n(y_n)-nq_n)\leq \frac{1}{\sqrt{n}}(k(n)-nq_n)\\ &\Longleftrightarrow W_n\leq u_n\text{ d'où la seconde égalité} \end{align}$$
b) Montrer l'égalité : $\lim_{n\to+\infty}P([W_n\geq u_n])=P\left(\left[\sqrt{\frac{\pi}{2}}T\leq x\right]\right)$.
Il est fort probable que cette question sort des limites du programme. Si l'un d'entre vous possède un argument simple, je prend! Petite explication : soit on essaie de résoudre la question en se ramenant au théorème central limite. La difficulté importante de cette approche est que la loi de $W_n$ dépend de $n$ et $u_n$ également. Or dans le programme HEC aucun théorème ne nous permet de régler directement cette difficulté (mais ces théorèmes existent!) ce qui va conduire à une argumentation alambiquée et longue. Soit on utilise un théorème sur les fonctions caractéristiques hors programme et le résultat est une conséquence directe de 11.b). Je crois que c'est cette dernière option que l'auteur du sujet avait en tête...
c) En déduire que la suite de variables aléatoires $\left(\sqrt{\frac{2n}{\pi}}(Y_{k(n)}-M)\right)_{n\in\mathbb N^*}$ converge en loi et préciser sa limite.
En combinant 12.a) et b), on a $$\lim_{n\to+\infty}P(\sqrt{n}(Y_{k(n)}-M)\leq x)=P\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}T\leq x\right)$$ donc $$\lim_{n\to+\infty}P\left( \sqrt{\frac{2n}{\pi}}(Y_{k(n)}-M)\leq x\right)=P\left(T\leq x\right).$$ Il suit que $\left(\sqrt{\frac{2n}{\pi}}(Y_{k(n)}-M)\right)_{n\in\mathbb N^*}$ converge en loi vers la loi de $}T$, c'est à dire vers ${\cal N}\left(0,1\right)$.
14. On suppose dans cette question que $n$ est impair et on pose $n=2l+1$ ($l\in\mathbb N$).
On note $\rho_n$ le coefficient de corrélation linéaire de $Y_{k(n)}$ et $\overline{X_n}$.
a) Que vaut $k(n)$?
$k(n)=l+1$.
b) Préciser la valeur de $\lim_{n\to+\infty}E(Y_{k(n)})$.
D'après 13.c) $\lim_{n\to+\infty}E(Y_{k(n)})=M$.
c) On admet sans démonstration que la suite réelle de terme général $E\left(\left(\sqrt{\frac{2n}{\pi}}(Y_{k(n)}-M)\right)^2\right)$ converge vers $E(T^2)$. En déduire un équivalent de $V(Y_{k(n)})$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Par définition : $$V(Y_{k(n)})=\frac{\pi}{2n}\left(E\left(\left(\sqrt{\frac{2n}{\pi}}(Y_{k(n)}-M)\right)^2\right)- E\left(\sqrt{\frac{2n}{\pi}}(Y_{k(n)}-M)\right)^2\right).$$ Or d'après b), $\lim_{n\to+\infty}E\left(\sqrt{\frac{2n}{\pi}}(Y_{k(n)}-M)\right)=0$ et d'après le résultat admis $\lim_{n\to+\infty}E\left(\left(\sqrt{\frac{2n}{\pi}}(Y_{k(n)}-M)\right)^2\right)=E(T^2)=1$. On en conclut que : $$V(Y_{k(n)})\underset{n\to+\infty}{\sim}\frac{\pi}{2n}.$$
d) A l'aide des questions 5,7,8 et 14.c), déterminer la limite de $\rho_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
On cherche la limite de $\frac{Cov(\overline{X_n},Y_{k(n)})}{\sqrt{V(\overline{X_n})V(Y_{k(n)})}}$. Or d'après le préambule de 7 ($Y_{k(n)}$ vérifiant les hypothèses adéquates!) $$Cov(\overline{X_n},Y_{k(n)})=Cov(\overline{X_n},Y_{k(n)}-\overline{X_n})+Cov(\overline{X_n},\overline{X_n})=0+\frac{1}{n}.$$ Enfin grâce aux questions précédentes : $$\frac{Cov(\overline{X_n},Y_{k(n)})}{\sqrt{V(\overline{X_n})V(Y_{k(n)})}}\underset{n\to+\infty}{\sim}\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{\frac{1}{n}.\frac{\pi}{2n}}}=\frac{1}{\pi}.$$
Pour afficher le fil des commentaires : Commentaires.
Pour poster un commentaire ou obtenir de l'aide : c'est ici!
L'insertion de formules suit la syntaxe LATEX. Toute formule doit être encadrée par des dollars : $\bf{\$formule\$}$. Par exemple $\bf{\$ u\_n \$}$ sera interprétée comme une formule et donnera $\bf{u_n}$. Voici quelques exemples pour ceux qui ne sont pas habitués :
Contacter l'auteur du site : frederic.millet @ math-sup.fr
