Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathbb R_n[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degrés au plus $n$. On considère l'application f qui à un polynôme P de $\mathbb R_n[X]$ associe le polynôme : $$f(P)=P''-4XP'$$
1. Etude de f. Soit n un entier naturel fixé uniquement dans cette question.
(a) Justifier que f est un endomorphisme de $\mathbb R_n[X].$
Après avoir fait la linéarité, ne pas oublier de montrer que f préserve le degré des polyômes pour que ce soit un endomorphisme.
(b) Calculer $f(1),\ f(X)$ puis $f(X^k)$ pour $k\in\{2,\dots,n\}$.
Etablir alors que la matrice $A_n$ de f dans la base canonique de $\mathbb R_n[X]$ est triangulaire.
$f(1)=0$, $f(X)=-4X$, et $f(X^k)=k(k-1)X^{k-2}-4kX^k$. La matrice aura pour forme $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 &\dots & 0\\ 0 & -4 & 0 & 6 & \ddots & \ldots\\ 0 & 0 & -8 & \ddots & \ddots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & n(n-1)\\ 0 & 0 & 0 & 0 &\ddots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & -2n \end{pmatrix}$
(c) Prouver que f est diagonalisable et que chacun de ses espaces propres est de dimension 1.
La matrice associée à f est triangulaire donc ses valeurs propres sont sur la diagonale. D'autre part toutes ses valeurs propres sont distinctes, donc f est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont de dimension 1.
(d) Soit P un vecteur propre de f associé à la valeur propre $\lambda."$
Etablir que : $\lambda=-4deg(P).$
En déduire qu'il existe un unique polynôme unitaire $H_n$ de degrés n tel que $$({\cal E})\ :\ f(H_n)=-4nH_n.$$
Rappel : un polynôme unitaire est un polynôme dont le coefficient dominantn vaut 1.
$H_n$ est vecteur propre de valeur propre $-4n$ (donc existe) mais ce sous-espace est de dimension 1 donc $H_n$ est uniquement déterminé par son coefficient dominant.
2. Etude de la suite $(H_n)_{n\in\mathbb N}.$
(a) En dérivant la relation $({\cal E})$, démontrer que : $$\forall n\geq 1,\ f(H'_n)=-4(n-1)H'_n.$$
En déduire que : $$\forall n\geq 1,\ H'_n=nH_{n-1}\text{ et }\forall n\geq 2,\ H_n-XH_{n-1}+\frac{(n-1)H_{n-2}}{4}=0.$$
D'après la relation $H'_n$ est vecteur propre de valeur propre $-4(n-1)$, $H'_n/n$ est de coefficient dominant 1, donc par unicité de $H_{n-1}$ on a $H'_n=nH_{n-1}$.
(b) Pourquoi peut-on affirmer que $H_0=1$ et $H_1=X$? Calculer alors $H_2$ et $?H_3$.
Pour $H_0=1$ et $H_1=X$, utiliser l'unicité de $H_n$. Pour $H_2$ et $H_3$ utiliser la relation de récurrence de 2.(a).
(c) D'après ce qui précède, la suite $H_n(1)$ satisfait à la relation de récurrence : $$u_0=1,\ u_1=1,\ \forall n\geq 2,\ u_n=u_{n-1}-\frac{(n-1)u_{n-2}}{4}.$$
Ecrire un programme en Pascal calculant $u_{2010}.$
3. Application aux point critiques d'une fonction à trois variables.
On note U l'ouvert de $\mathbb R^3$ défini par : $$U=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\text{ tel que } x\neq y\text{ et } y\neq z \text{ et } z\neq x\}$$
ainsi que la fonction V définie sur U par : $$\forall (x,y,z)\in U,\ V(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-\ln|x-y|-\ln|y-z|-\ln|z-x|.$$
Soit $(\alpha,\beta,\gamma)\in U.$
(a) Etablir que $(\alpha,\beta,\gamma)$ est un point critique de V si et seulement si $(\alpha,\beta,\gamma)$ est solution du système : $$({\cal S})\ :\ \left\lbrace\begin{matrix}2\alpha(\alpha-\gamma)(\alpha-\beta)=2\alpha-\beta-\gamma\\ 2\beta(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)=2\beta-\alpha-\gamma\\ 2\gamma(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)=2\gamma-\alpha-\beta\end{matrix}\right.$$
(b) On introduit le polynôme $Q(X)=(X-\alpha)(X-\beta)(X-\gamma).$ Montrer que $(\alpha,\beta,\gamma)$ est solution de $({\cal S})$ si et seulement si $Q''-4XQ'$ admet pour racines $\alpha,\beta,\gamma.$
Calculer $Q''-4XQ'$ puis à l'aide de l'expression trouvée, traduire le fait que $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sont racines de ce polynôme.
(c) Prouver que si $(\alpha,\beta,\gamma)$ est un point critique de V alors $$Q''-4XQ'=-12Q$$
Remarquer que $(\alpha,\beta,\gamma)\in U$, donc $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont distincts par définition de U. Ensuite utiliser le fait que $Q''-4XQ'$ est de degré 3 et admet $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ comme racines distinctes.
puis que $Q=H_3$ (cf question 2.b.).
Observer que Q est vecteur propre unitaire de valeur propre -12, puis utiliser l'unicité de $H_n$.
Donner alors les points critiques de V.
Trouver $H_3$ et chercher ses racines!
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