On dit qu'une matrice $A$ carrée d'ordre $n$ est une matrice nilpotente s'il existe un entier naturel $k$ non nul tel que $$A^{k-1}\neq 0_n\text{ et }A^k=0_n$$ où $0_n$ représente la matrice carrée d'ordre $n$, on dit que le couple $(\Delta,N)$ est une décomposition de Dunford de $A$ lorsque : $$\begin{cases} &\Delta\text{ est une matrice diagonalisable}\\ &N \text{ est une matrice nilpotente}\\ &\Delta N=N\Delta\text{ et }A=N+\Delta. \end{cases}$$
1. On pose : $$A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix},\ \Delta=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\text{ et }N=\begin{pmatrix}0 & 2\\ 0 & 0\end{pmatrix}.$$ Vérifier que $(\Delta,N)$ est une décomposition de Dunford de $A$.
Tous les calculs sont clairs. On n'oubliera pas de préciser que $N$ est nilpotente d'ordre 2 (car $N\neq 0$ et $N^2=0$).
Dans toute la suite de l'exercice, on pose : $$A=\begin{pmatrix}3 & 1 & -1\\-2 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\ N=\begin{pmatrix}0 & 0 & -1\\0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix},\ \Delta=\begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\-2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\ D=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$
2. (a) Déterminer les valeurs propres de $A$.
On trouvera 1 et 2.
(b) La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
L'espace propre associé à la valeur propre 1 est $E_1=Vect\left\lbrace\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}\right\rbrace$. Il est de dimension 1. L'espace propre associé à la valeur propre 2 est $E_2=Vect\left\lbrace\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\right\rbrace$ qui est aussi de dimension 1. La somme des dimensions des sous-espaces propres vaut 2 qui est différent de 3 (dimension de l'espace vectoriel de l'endomorphisme dont $A$ est une représentation). Donc $A$ n'est pas diagonalisable.
3. On considère les matrices colonnes $$X_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\ X_2=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\text{ et }X_3=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}.$$
(a) Calculer les produits $\Delta X_1$, $\Delta X_2$ et $\Delta X_3$.
$$\Delta X_1=\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}=2X_1,$$ $$\Delta X_2=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=X_2,$$ $$\Delta X_3=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}=X_3.$$
(b) Justifier que la matrice $\Delta$ est diagonalisable et déterminer une matrice $P$ inversible telle que : $P^{-1}\Delta P=D$.
D'après la question précédente $X_1$, $X_2$ et $X_3$ sont des vecteurs propres de $\Delta$, on montrera qu'ils sont linéairement indépendants donc forment une base (car on est en dimension 3). On a donc trouvé une base constituée de vecteurs propres de $\Delta$ donc $\Delta$ est diagonalisable. D'autre part une matrice possible pour $P$ consiste placer les vecteurs propres en colonnes : $$P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$
(c) Calculer $P^{-1}$.
L'inverse du $P$ trouvé dans la question précédente est : $$P^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.$$
4. (a) Etablir que $N$ est une matrice nilpotente.
Un calcul nous donne $N^2=0$ donc $N$ est nilpotente d'ordre 2.
(b) Vérifier que $(\Delta,N)$ est une décompostion de Dunford de la matrice $A$.
(c) En utilisant la formule du binôme de Newton que l'on justifiera, donner l'expression de $A^n$ en fonction des puissances de $\Delta$, de $N$ et de $n$.
Grâce à la décomposition de Dunford $A=N+\Delta$. Or $\Delta N=N\Delta$ donc on peut appliquer la formule du binome de Newton : $$A^n=(N+\Delta)^n=\sum_{i=0}^n\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}N^i\Delta^{n-i}.$$ Or $N^2=0$ donc la somme se restreint aux deux premiers termes : $$A^n=\Delta^n+N\Delta^{n-1}.$$
(d) Etablir que : Pour tout entier naturel $k\geq 1$, $\Delta^kN=N$.
On raisonne par récurrence. Pour $k=1$, on calcule que $\Delta N=N$ d'où l'initialisation. Supposons maintenant que $\Delta^k N=N$ alors : $\Delta^{k+1}N=\Delta\Delta^kN=\Delta N=N$ ce qui prouve l'hérédité.
(e) Proposer une décomposition de Dunford de $A^n$.
Comme $N$ et $\Delta$ commutent, l'expression trouvé en (c) peut aussi s'écrire $A^n=\Delta^n+\Delta^{n-1}N$ et donc d'après (d) : $A^n=\Delta^n+N$. $\Delta$ est diagonalisable donc $\Delta^n$ aussi. $N$ est nilpotente comme on l'a déjà vu. $N$ commute avec $\Delta$ donc $N$ commute avec $\Delta^n$. $A^n=\Delta^n+N$ est donc bien une décomposition de Dunford de $A$.
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