La société Lehazard met à la disposition de ses clients un nouvea jeu en ligne dont la page d'écran affiche une grille à trois lignes et trois colonnes.
Après une mise initiale de 2 euros du joueur, une fonction aléatoire place au hasard successivement trois jetons $(\star)$ dans trois cases différentes; La partie est gagnée si les trois jetons sont alignés. Le gagnant empoche 10 fois la mise, ce qui lui rapporte 18 euros à l'issu du jeu. Dans le cas contraire la mise initiale est perdu par le joueur.
| A | B | C | |
| 1 | $\star$ | ||
| 2 | $\star$ | ||
| 3 | $\star$ |
On définit les évènements $H$, $V$, $D$, $N$ par :
1. Justifier qu'il y a 84 positionnements possibles des trois jetons dans les trois cases.
2. Déterminer les probabilités $p(H)$, $p(V)$, $p(D)$ des évènements $H$, $V$, $D$.
3. En déduire que la probabilité de l'évènement $N$ est égale à : $$P(N)=\frac{19}{21}\simeq 0.9048.$$
4. La société peut s'attendre à 10 000 relances par jour de ce jeu.
(a) Pour chaque entier naturel $i$ non nul, on note $Z_i$ le gain de la société à la i-ème relance.
Calculer l'espérance mathématique $E(Z_i)$ de $Z_i$.
(b) Quel gain journalier $Z$ la société peut-elle espérer?
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