$\left( \mathcal{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) ,+,\cdot \right) $ désigne l'espace vectoriel des matrices carrees d'ordre 3 à coefficients réels.
Deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $ étant données, on suppose qu'il existe une matrice $L$ appartenant à $ \mathcal{M}_{3}\mathbb{R}$ telle que : $$L=AL+B.$$
On définit la suite de matrices $\left( U_{n}\right) _{n\in\mathbb N}$ de $ \mathcal{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $ de la manière suivante : $$\left\{ \begin{array}{l} U_{0}\in \mathcal{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) \\ \forall n\in \mathbb{N},\ U_{n+1}=AU_{n}+B% \end{array}% \right.$$
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $$ U_{n}=L+A^{n}\left( U_{0}-L\right) . $$
L'initialisation est immédiate, tandis que pour l'hérédité on procède comme suit : $$\begin{align} U_{n+1} & =AU_{n}+B\\ & =A\left(L+A^{n}\left( U_{0}-L\right) \right) +B\\ & =AL+A^{n+1}\left( U_{0}-L\right) +B\\ & =L+A^{n+1}\left( U_{0}-L\right) \end{align}$$
Dans la suite du problème les matrices $A$ et $B$ sont choisies de telle sorte que : $$ A=\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ -4 & 6 & 4 \\ -2 & 3 & 5% \end{pmatrix} ,\quad B= \begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} $$
On note :
2. Prouver que le vecteur $u=\left( x,y,z\right) $ appartient à l'image de $b$ si et seulement si $$ -x+y+z=0 $$
L'image de $b$ est engendrée par les colonnes de $B$ donc $$Im(b)=Vect\left((3,1,2),(-1,0,-1),(-2,-1,-1)\right)$$ or comme $(-2,-1,-1)=-(3,1,2)-(-1,0,-1)$ par conséquent on a aussi $$Im(b)=Vect\left((3,1,2),(-1,0,-1)\right)$$ On montre facilement que ces deux derniers vecteurs sont indépendants donc $Im(b)$ est de dimension 2. D'autre part si on note $P$ l'espace suivant $$P=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3/-x+y+z\}=Vect\left((1,1,0),(1,0,1)\right)$$ les deux vecteurs étant libres ce second espace est également de dimension 2. Observons enfin que -3+1+2=0 et 2-1-1=0 donc $(3,1,2),(-1,0,-1)\in P$ et $Im(b)\subset P$. Or ces deux espaces étant de même dimension, on a $Im(b)=P$.
puis montrer que : $$ Im\left( b\right) =Im\left( \mathrm{Id}-a\right) $$
Les colonnes de la matrice $B$ vérifient l'équation -x+y+z=0 donc $Im(b)\subset Im(Id-a)$. D'autre part on montre facilement que $B$ est de rang $2$ donc $dim(Im(b))=2=dim(Id-a)$ donc $Im(b)= Im(Id-a)$.
3. Montrer que la matrice $P= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1% \end{pmatrix} $ peut être considérée comme la matrice de passage de la base canonique de $\mathbb{R}^{3}$ à une base de vecteurs propres de $a.$
On remarque que $$A\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$ donc la première colonne de $P$ représente un vecteur propre de valeur propre 1. De même la seconde colonne de $P$ représente un vecteur propre de valeur propre $\frac{1}{2}$ et la troisième colonne un vecteur propre de valeur propre $\frac{1}{3}$. Ces trois valeurs propres sont distinctes donc les trois vecteurs associées à ces colonnes forment une base et $P$ représente bien une matrice de passage.
4. Ecrire la matrice $D$ de l'endomorphisme $a$ ainsi que la matrice $ B'$ de l'endomorphisme $b$ dans cette base de vecteurs propres.
$$D=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1/2 & 0\\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$$ puis en utilisant la formule de changement de base d'une matrice, on trouve $$B'=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
5. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $$ A^{n}=PD^{n}P^{-1} $$
On effectuera une résurrence en utilisant la formule de changement de base d'une matrice.
6. En écrivant convenablement $D^{n}$ comme la somme de trois matrices diagonales judicieusement choisies, prouver l'existence de trois matrices $E$, $F$, $G$ indépendantes de $n$ telles que pour tout entier naturel $n$ : $$ A^{n}=E+\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}F+\left( \frac{1}{3}\right) ^{n}G. $$ Expliciter uniquement la matrice $E$ sous la forme d'un tableau de nombres.
On écrira $$D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} +\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ de sorte que $$A^n=P\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}P^{-1}+\left(\frac{1}{2}\right)^nP\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}P^{-1}+\left(\frac{1}{3}\right)^nP\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}P^{-1}$$ Le calcul pour $E$ nous donne $$E=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
7. Déterminer par le calcul, une matrice $L^{\prime }$ de la forme $ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & q \\ 0 & 0 & r% \end{pmatrix} $ telle que : $$ L^{\prime }=DL^{\prime }+B^{\prime } $$
En résolvant le système qu'implique l'équation, on trouve $$L'=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 3/2 \end{pmatrix}$$
8. Montrer que la matrice $L=PL^{\prime }P^{-1}$ vérifie: $$ L=AL+B. $$
En utilisant les formules de changement de base, on a $$PL'P^{-1} =PDPP^{-1}L'P^{-1}+PB'P^{-1}=AL+B$$
9. Etablir que $EL=0.$
C'est un calcul direct.
10. Montrer que chacun des coefficients de la matrice $U_{n}$ a pour limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty $, les coefficients de la matrice $ EU_{0}+L$.
D'après 6. les coefficientd de $A_n$ tendent vers ceux de $E$ donc les coefficients de $U_n$ tendent vers ceux de $L+E(U_0-L)$. Mais comme $EL=0$ on a aussi $L+E(U_0-L)=L+EU_0$ et le résultat suit.
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