On considère la fonction définie sur l'ensemble des réels positifs par : $$ \left\{ \begin{array}{lc} f\left( x\right) =\frac{1-e^{-x}}{x} & \text{si }x>0 \\ f\left( 0\right) =1 & \end{array} \right. $$
1. Ecrire le développement limité de $f\left( x\right) $ l'ordre 2, au voisinage de $0$. En déduire que $f$ est continue sur $\left[ 0,+\infty \right[ .$
On a que $$1-e^x=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$$ donc pour $x>0$ $$f(x)=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+o(x^2).$$ On en déduit que $$\lim_{x\to 0^+}f(x)=1=f(0)$$ d'où la continuité de $f$ en $0$.
2. Montrer que $f$ est dérivable en $0$ et donner la valeur de $ f^{\prime }\left( 0\right) $.
Grâce à la question 1. on a que $$\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+o(x^2)}{x}=\frac{1}{2}.$$ donc $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0)=\frac{1}{2}$.
3. Justifier la dérivabilité de $f$ sur l'intervalle $\left] 0,+\infty \right[ $ puis déterminer la fonction $\varphi $ telle que : $$ \forall x>0\quad f^{\prime }\left( x\right) =\frac{\varphi \left( x\right) }{ x^{2}} $$
$f$ est dérivable sur $\left] 0,+\infty \right[ $ par quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annulle pas. D'autre part pour $x>0$, on a $$f'(x)=\frac{-1+e^{-x}+xe^{-x}}{x^2}$$ donc $\varphi(x)=-1+e^{-x}+xe^{-x}$.
4. Etudier les variations de $\varphi $. En déduire le tableau de variation $f$ qui sera complété par la limite de $f$ en $+\infty $ .
On trouve en dérivant que $\varphi$ est strictement décroissante et $f$ également. D'autre part on trouve que $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
On introduit la suite $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}^{\ast }}$ définie par : $$ \forall n\in \mathbb{N}^{\ast }\quad u_{n}=\int_{0}^{n}\frac{e^{-\frac{u}{n}% }}{1+u}du $$
5. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : $$ u_{n}\geq \frac{1}{e}\ln \left( n+1\right) $$ Donner la limite de la suite $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}^{\ast }}$ .
On observe que $u\leq n\Longleftrightarrow -\frac{u}{n}\geq -1\Longleftrightarrow \frac{e^{-u/n}}{1+u}\geq e^{-1}\frac{1}{1+u}$. Il ne reste plus qu'à intégrer membre à membre cette inégalité pour obtenir l'inégalité voulue. Enfin par comparaison, on en déduit que $\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
6. Prouver l'existence de l'intégrale $\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx $'.
$f$ est continue sur $[0,1]$ d'après la partie I.
7. Utiliser un changement de variable affine pour montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $$ 0\leq \int_{0}^{n}\frac{1}{1+u}du-u_{n}\leq \int_{0}^{1}f\left( x\right) dx $$
On observe déjà que $$\int_{0}^{n}\frac{1}{1+u}du-u_{n}=\int_{0}^{n}\frac{1-e^{-u/n}}{1+u}du.$$ On observe que pour $0\leq u\leq n$, $e^{-u/n}\leq 1$ donc $\frac{1-e^{-u/n}}{1+u}\geq 0$ et donc $\int_{0}^{n}\frac{1}{1+u}du-u_{n}\geq 0$. D'autre part en faisant le changement de variable $x=u/n$, on a aussi que $$\int_{0}^{n}\frac{1}{1+u}du-u_{n}=n\int_0^1\frac{1-e^{-x}}{1+nx}dx,$$ mais comme pour $x>0$, $\frac{1}{1+nx}\leq nx$, on a que $$\int_{0}^{n}\frac{1}{1+u}du-u_{n}\leq n\int_0^1\frac{1-e^{-x}}{nx}dx=\int_0^1f(x)dx.$$
8. Donner alors un équivalent simple de $u_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty .$
Grâce à 7. on a que $$0\leq\ln(n+1)-u_n\leq\int_0^1f(x)dx$$ donc en soustrayant $$0\leq 1-\frac{u_n}{\ln(n+1)}\leq \frac{\int_0^1f(x)dx}{\ln(n+1)}$$ puis en passant à la limite on en déduit que $$u_n\sim \ln(n+1).$$
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