On note $E$ le $\mathbb R$-espace vectoriel des applications polynomiales de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
Soit $N\in\mathbb N$ fixé. On note $E_N$ le sous-espace vectoriel de $E$ formé des applications polynomiales de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ de degré inférieur ou égal à $N$.
14. Montrer que, pour tout $A\in E$, l'intégrale $\int_0^{+\infty}A(x)e^{-x}dx$ converge.
L'intégrale ne pose un problème de convergence qu'en l'infini. Pour faire au plus court, pour $A\in E$, $A$ est un polynôme de degré $n$ pour un certain $n\in\mathbb N$, donc $x^2A(x)$ est un polynôme de degré $n+2$ et par croissance comparée $|x^2A(x)e^{-x}|$ tend vers $0$ à l'infini. Il suit que $|A(x)e^{-x}|\underset{x\to+\infty}{=}o\left(\frac{1}{x^2}\right)$. Ensuite on conclut à l'aide de la règle des "petit o".
On considère l'application $$\langle.,.\rangle:E\times E\to\mathbb R,\ (P,Q)\mapsto\langle P,Q\rangle=\int_0^{+\infty}P(x)Q(x)e^{-x}dx.$$
15. Montrer que $\langle.,.\rangle$ est un produit scalaire sur $E$.
La symétrie est claire, la positivité provient de la positivité des intégrales et la bilinéarité provient de la linéarité des intégrales convergentes. Il reste à vérifier la caractère défini. On a $\langle P,P\rangle=0\Longleftrightarrow \int_0^{+\infty}P^2(x)e^{-x}dx=0$. Or $P^2(x)e^{-x}$ étant continue positive sur $[0,+\infty[$ donc est la fonction nulle. L'exponentielle ne s'annulant pas, on en déduit que $P^2$ est nul sur $[0,\infty[$ donc $P$ aussi. Il suit que $P$ est un polynôme admettant une infinité de racines, donc $P$ est nécessairement le polynôme nul.
On considère, pour tout $P\in E$, l'application $T(P):\mathbb R\to\mathbb R$ définie par : $$\forall x\in\mathbb R,\ T(P)(x)=xP''(x)-(x-1)P'(x).$$
16. Vérifier que $T$ est un endomorphisme du $\mathbb R$-espace vectoriel $E$.
La linéarité provient du caractère linéaire de la dérivation. Le caractère "endo" provient du fait que la dérivée d'un polynôme est elle même un polynôme.
17. Montrer que, pour tout $P\in E$, l'aplication de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ : $x\mapsto T(P)(x)e^{-x}$ est la dérivée de l'application de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ : $x\mapsto xP'(x)e^{-x}$.
Il suffit de dériver $xP'(x)e^{-x}$.
18. En déduire, pour tout $(P,Q)\in E\times E$ : $$\langle T(P),Q\rangle=-\int_0^{+\infty}xP'(x)Q'(x)e^{-x}dx.$$
On effectue une intégration par partie en se ramenant à une intégrale finie pour géréer l'intégrale impropre. Soit $C>0$, on a $$ \begin{align} \int_0^CT(P)(x)Q(x)e^{-x}dx&=\int_0^CxP''(x)Q(x)e^{-x}-(x-1)P'(x)Q(x)e^{-x}dx\\ &\int_0^CxP''(x)Q(x)e^{-x}dx-\int_0^C(x-1)P'(x)Q(x)e^{-x}dx\\ &=\left[P'(x)xQ(x)e^{-x}\right]_0^C-\int_0^CP'(x)(xQ(x)e^{-x})'dx-\int_0^C(x-1)P'(x)Q(x)e^{-x}dx\\ &=\left[P'(x)xQ(x)e^{-x}\right]_0^C-\int_0^CP'(x)Q(x)e^{-x}+P'(x)xQ'(x)e^{-x}-P'(x)xQ(x)e^{-x}dx\\ &-\int_0^C(x-1)P'(x)Q(x)e^{-x}dx\\ &=\left[P'(x)xQ(x)e^{-x}\right]_0^C-\int_0^CxP'(x)Q'(x)e^{-x}dx. \end{align}$$ En faisant tendre $C$ vers l'infini, le terme entre crochet tend vers l'infini par croissance comparée et l'égalité demandée suit.
19. Etablir : $\forall (P,Q)\in E\times E$, $\langle T(P),Q\rangle=\langle P,T(Q)\rangle$.
Grâce à 18 on sait que $\langle T(P),Q\rangle=-\int_0^{+\infty}xP'(x)Q'(x)e^{-x}dx$. On en déduit par symétrie que $$\langle P,T(Q)\rangle=\langle T(Q),P\rangle=-\int_0^{+\infty}xQ'(x)P'(x)e^{-x}dx=-\int_0^{+\infty}xP'(x)Q'(x)e^{-x}dx=\langle T(P),Q\rangle,$$ d'où le résultat.
20. En utilisant le résultat de la question 13, calculer, pour tout $n\in\mathbb N$, $T(L_n)$.
13 nous donne $T(L_n)=-nL_n$.
21. En déduire que la famille $(L_0,\dots,L_N)$ est orthogonale.
Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels distincts. L'un des deux est forcément non nul, supposons que se soit $n$. Grâce à la relation établie en 20, on a $L_n=\frac{-1}{n}L_n$ et on a la relation suivante : $$\langle L_n,L_m\rangle=\langle \frac{-1}{n}T(L_n),L_m\rangle=\frac{-1}{n}\langle T(L_n),L_m\rangle.$$ Or d'après 19 on a aussi $$\langle L_n,L_m\rangle=\frac{-1}{n}\langle T(L_n),L_m\rangle=\frac{-1}{n}\langle L_n,T(L_m)\rangle=\frac{-1}{n}\langle L_n,-mL_m\rangle=\frac{m}{n}\langle L_n,L_m\rangle.$$ $m$ et $n$ étant distinct, $\frac{m}{n}$ est différent de $1$ et donc $\langle L_n,L_m\rangle=\frac{m}{n}\langle L_n,L_m\rangle$ ne peut avoir lieu que si $\langle L_n,L_m\rangle=0$ d'où le résultat.
22. Montrer : $$\forall P\in E_N,\ T(P)\in E_N.$$
Utiliser le fait que si $P\in E_N$ alors $P'\in E_{N-1}$ et $XP'\in E_{N}$, et que $P''\in E_{N-2}$ et $XP''\in E_{N-1}\subset E_N$.
On note $T_N$ l'endomorphisme induit par $T$ sur $E_N$, c'est-à-dire l'endomorphisme $T_N$ de $E_N$ défini par : $$\forall P\in E_N,\ T_N(P)=T(P).$$
23. Montrer que $(L_0,\dots ,L_N)$ est une base de $E_N$.
D'après 8 la famille est de degré échelonné donc libre (remarque : on peut aussi montrer la liberté en utilisant le caractère orthogonal). $E_N$ est de dimension $N+1$, la famille a $N+1$ vecteurs libres donc c'est une base.
24. Donner la matrice de $T_N$ dans la base $(L_0,\dots ,L_N)$ de $E_N$.
Puisque $T(L_n)=-nL_n$, on a que la matrice est : $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & -1 & 0 & \dots & \vdots\\ 0 & 0 & -2 &\dots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \dots & \dots & 0 & -N \end{pmatrix}$$
25. Est-ce que $T_N$ est diagonalisable? Est-ce que $T_N$ est bijectif?
$T_N$ est diagonalisable puisqu'on a trouvé une base dans laquelle sa matrice est diagonale. $T_N(L_0)=0$ donc le noyau de $T_N$ n'est pas réduit à zéro donc n'est pas injectif et par conséquent pas bijectif. (remarque : pour le caractère non bijectif on aurait aussi pu observer que $0$ est valeur propre).
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