Dans tout le problème, $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Pour tout $i$ de $[\![1,n]\!]$, on note $V_i$ la matrice colonne de $M_{n,1}(\mathbb R)$ dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui de la i-ème ligne qui est égal à 1. On admet que la famille $(V_i)_{i\in [\![1,n]\!]}$ est une base de $M_{n,1}(\mathbb R)$.
Pour tout $(i,j)$ de $[\![1,n]\!]^2$, on note $E_{i,j}=V_i\ ^t\!V_j$. Ainsi, pour tout $(i,j)$ de $[\![1,n]\!]^2$, la matrice $E_{i,j}$ est la matrice carrée de $M_{n}(\mathbb R)$ dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui à l'intersection de la i-ième ligne et de la j-ième colonne qui est égal à 1. On admet que la famille $(E_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^2}$ est une base de $M_{n}(\mathbb R)$.
On note $I_n$ la matrice identité de $M_{n}(\mathbb R)$.
Soit $A$ une matrice quelconque de $M_{n}(\mathbb R)$ telle que, pour tout $\lambda$ de $\mathbb R$, $A\neq\lambda I_n$.
On considère l'application $\Phi_A$ de $M_{n}(\mathbb R)$ dans $M_{n}(\mathbb R)$ définie par : $$\forall M\in M_{n}(\mathbb R),\ \Phi_A(M)=AM-MA.$$
1. Montrer que $\Phi_A$ est un endomorphisme de $M_{n}(\mathbb R)$.
2. Calculer $\Phi_A(I_n)$. L'endomorphisme $\Phi_A$ est-il injectif? surjectif?
On suppose, dans cette seulement, que $n=2$ et $A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 3\end{pmatrix}$.
3. Justifier que la matrice $A$ est diagonalisable dans $M_{2}(\mathbb R)$ et donner les valeurs propres de $A$.
On note $\cal B$ la base de $M_{2}(\mathbb R)$ constituée des quatre matrices suivantes : $$E_{1,1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix},\ E_{1,2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix},\ E_{2,1}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix},\ E_{2,2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.$$
4. Ecrire la matrice de $\Phi_A$ dans la base $\cal B$, puis calculer le rang de cette matrice.
5. Déterminer les valeurs propres de $\Phi_A$ et montrer que $\Phi_A$ est diagonalisable.
On suppose, dans cette partie seulement, que la matrice $A$ est diagonalisable dans $M_n(\mathbb R)$.
6. Montrer que $^t\!A$ est diagonalisable dans $M_n(\mathbb R)$ et que $A$ et $^t\!A$ ont les mêmes valeurs propres.
7. Soient $X,Y\in M_{n,1}(\mathbb R)$ tels que $X$ (resp. $Y$) est un vecteur propre de $A$ (resp $^t\!A$). Montrer que $X\ ^t\!Y$ est un vecteur propre de $\Phi_A$.
8. Soient $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ et $(Y_1,Y_2,\dots,Y_n)$ deux bases de $M_{n,1}(\mathbb R)$.
On note ${\cal F}$ la famille ${\cal F}=(X_i\ ^t\!Y_j)_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2}$.
Montrer que, pour tout $(i,j)$ de $[\![1,n]\!]^2$, $V_i\ ^t\!V_j$ appartient au sous espace vectoriel de $M_n(\mathbb R)$ engendré par ${\cal F}$, et en déduire que la famille ${\cal F}$ est une base de $M_n(\mathbb R)$.
9. Etablir que $\Phi_A$ est diagonalisable.
10. Montrer que l'ensemble des valeurs propres de $\Phi_A$ est l'ensemble des différences $\lambda-\mu$ lorsque $\lambda$ et $\mu$ décrivent les valeurs propres de $A$.
Soient $\lambda$ une valeur propre non nulle de $\Phi_A$ et $T\in M_n(\mathbb R)$ un vecteur propre associé; on a alors : $$\Phi_A(T)=\lambda T\text{ et }T\neq 0.$$
11. A l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer : $\forall k\in\mathbb N,\ \Phi_A(T^k)=\lambda kT^k$.
12. En raisonnant par l'absurde, montrer qu'il existe un entier $q$ de $\mathbb N^*$ tel que : $T^q=0$ et $q\leq n^2$.
On note $p$ l'entier de $\mathbb N^*$ tel que $T^p=0$ et $T^{p-1}=0$.
13. Justifier qu'il existe $X\in M_{n,1}(\mathbb R)$ tel que $T^{p-1}X\neq 0$.
Montrer que la famille $(X,TX,\dots,T^{p-1}X)$ est libre dans $M_{n,1}(\mathbb R)$, et en déduire : $p\leq n$.
On suppose dans cette partie seulement, que la matrice $A$ est symétrique; il existe donc une matrice $P\in M_n(\mathbb R)$ orthogonale telle que $P^{-1}AP$ est diagonale. On note $C_1,C_2,\dots,C_n$ les colonnes de $P$.
Pour toutes matrices $M=(m_{i,j})_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2}$ et $N=(n_{i,j})_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2}$ de $M_n(\mathbb R)$, on définit : $$\displaystyle (M|N)=\sum_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2}m_{i,j}n_{i,j}.$$
14. Montrer que l'application $(.|.)$ est un produit scalaire sur $M_n(\mathbb R)$.
15. Montrer que : $\forall(M,N)\in M_n(\mathbb R)^2,\ (M|N)=(M\ ^t\!N|I_n)$.
16. Pour tout $(i,j)$ de $[\![1,n]\!]^2$, calculer $^t\!C_iC_j$.
17. Pour tout $(i,j)$ de $[\![1,n]\!]^2$, déterminer les coefficients diagonaux de la matrice $C_i\ ^t\!C_j$ et en déduire la valeur de $(C_i\ ^t\!C_j|I_n)$.
18. Pour tout $(i,j,k,l)$ de $[\![1,n]\!]^4$, calculer $(C_i\ ^t\!C_j,C_k\ ^t\!C_l)$.
19. On considère la famille ${\cal G}=(C_i\ ^t\!C_j)_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^2}$ de $M_n(\mathbb R)$.
Montrer que $\cal G$ est une base orthonormée pour le produit scalaire $(.|.)$ de $M_n(\mathbb R)$ et que $\cal G$ est constituée de vecteurs propres de $\Phi_A$.
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