Le problème comporte cinq parties.
$\mathbb N$ désigne l'ensemble des entiers naturels et $\mathbb R[X]$ celui des polynômes à coefficients réels.
Si $n$ est un entier naturel, $\mathbb R_n[X]$ est le sous-ensemble de $\mathbb R[X]$ formé des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$.
Si $E$ est un espace vectoriel sur $\mathbb R$, on notera $L(E)$ l'ensemble des endomorphismes de $E$.
Si $U$ est une partie non vide de $L(E)$, on appelle centre de $U$ et on note $C(U)$ l'ensemble des endomorphismes de $E$ qui commutent avec tous les élements de $U$, c'est-à-dire : $C(U)=\{v\in L(E)/\forall u\in U,uov=vou\}$.
Si $u\in L(E)$ et $U=\{u\}$, $C(\{u\})$ est plus simplement noté $C(u)$ et est aussi appelé commutant de $u$. On a donc : $C(u)=\{v\in L(E)/uov=vou\}$.
Si $P\in\mathbb R[X]$ et $(a_0,\dots,a_d)\in\mathbb R^{d+1}$ avec $P=a_dX^d+\dots+a_0=\sum_{k=0}^da_kX^k$, on note $P(u)$ l'endomorphisme de $E$ défini par $P(u)=a_du^d+\dots+a_0id_E=\sum_{k=0}^da_ku^k$. En particulier, $1(u)=id_E$. Enfin on note $\mathbb R[u]=\{P(u),P\in\mathbb R[X]\}$.
L'objectif du problème est de comparer $C(u)$ et $\mathbb R[u]$ dans certains cas.
Dans cette partie, on suppose que $E$ est un espace vectoriel sur $\mathbb R$ de dimension finie $n$ où $n$ est une entier naturel supérieur ou égal à 1, $U$ est une partie non vide de $L(E)$ et $u$ un élément de $L(E)$.
1) Montrer que $C(U)$ est un sous-espace vectoriel de $L(E)$ de dimension supérieure ou égale à 1.
On a déjà que $id_E\in C(E)$ donc $C(E)\neq \emptyset$.
Si $u_1,u_2\in C(E)$, alors $\forall v\in L(E)$ $$(u_1+u_2)ov=u_1ov+u_2ov=vou_1+vou_2=vo(u_1+u_2),$$ donc $u_1+u_2\in C(E)$.
En raisonnant de même, on montre que si $u\in C(E)$ et $\lambda\in \mathbb R$ alors $\lambda u\in C(E)$. On en conclut que $C(E)$ est un sous-ev de $L(E)$.
Enfin $id_E\in C(E)$ donc $C(E)\neq\{0\}$ et donc $dim(C(E))\geq 1$.
2) Vérifier que $C(u)$ contient $\mathbb R[u]$.
On veut montrer que $\forall P\in\mathbb R[X]$, $P(u)\in C(u)$. Or pour se faire, comme $C(u)$ est un espace vectoriel, il suffit de prouver que $\forall n\in\mathbb N, u^n\in C(u)$ ce qui est facile.
3) Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$, $E_\lambda(u)=Ker(u-\lambda id_E)$ l'espace propre associé et $v$ dans $C(u)$. Montrer que $E_\lambda(u)$ est stable par $v$.
$\forall x\in E_\lambda(u),\forall \nu\in C(u)$, on a $$u(\nu(x))=uo\nu(x)=\nu ou(x)=\nu(\lambda x)=\lambda\nu(x),$$ donc $u(\nu(x))=\lambda\nu(x)$, c'est-à-dire $\nu(x)\in E_\lambda(u)$ d'où la stabilité.
Dans toute cette partie, on notera : $$A=\left\lbrace (a_n)_{n\geq 0}/\forall x\in]-1,1[,\sum_{n\geq 0}|a_nx^n|\text{ converge} \right\rbrace,$$ $$B=\left\lbrace (a_n)_{n\geq 0}\in A/\forall n\in\mathbb N, 2a_{n+3}+3a_{n+2}-a_n=0 \right\rbrace,$$ $$H=\left\lbrace f:x\in]-1,1[\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\text{ où }(a_n)_{n\geq 0}\in A \right\rbrace,$$ $$E=\left\lbrace f:x\in]-1,1[\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\text{ où }(a_n)_{n\geq 0}\in B \right\rbrace,$$ $$\alpha_n=\frac{1}{2^n},\beta_n=(-1)^n\text{ et }\gamma_n=n(-1)^n,$$ $$\varphi:x\in]-1,1[\mapsto\frac{1}{2-x},\psi:x\in]-1,1[\mapsto\frac{1}{1+x}\text{ et }\delta:x\in]-1,1[\mapsto\frac{1}{(1+x)^2}.$$
On admet que pour $f$ dans $H$, il existe une unique suite $(a_n)_{n\geq 0}$ dans $A$ telle que : $$\forall x\in]-1,1[,f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n.$$
4) Quelques propriétés de $A$ :
a) Vérifier que la suite constante égale à 1 appartient à $A$.
$\sum|x|^n$ est série géométrique convergente quand $|x|<\!1$ et le résultat suit.
b) Plus généralement, si $(a_n)_{n\geq 0}\in\mathbb R^{\mathbb N}$, telle qu'il existe $s\in\mathbb R$ vérifiant : $a_n=o(n^s)$, montrer que $(a_n)_{n\in\mathbb N}\in A$.
Il est clair que pour $x=0$ la série $\sum |a_nx^n|$ converge. Maintenant pour $x\neq 0$, on peut par exemple procéder comme suit $$|n^2a_nx^n|=\left|n^{2+s}\frac{a_n}{n^s}x^n\right|=\left|\frac{a_n}{n^s}\right|e^{n\ln|x|}n^{2+s}.$$ Or par hypothèse $\left|\frac{a_n}{n^s}\right|$ et par croissance comparée $e^{n\ln|x|}n^{2+s}$ tend vers 0 car $ln|x|<\!0$ pour $|x|<\!1$. On a donc que $|a_nx^n|=o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ et on conclut sur la convergence de $\sum |a_nx^n|$ à l'aide de Riemann et de la règle des "petit o".
c) En déduire que les suites $(\alpha_n)_{n\geq 0},(\beta_n)_{n\geq 0}$ et $(\gamma_n)_{n\geq 0}$ appartiennent à $A$.
On a $\lim_{n\to+\infty}\alpha_n=0$ donc $\alpha_n=o(1)=o(n^0)$ et le résultat découle de b). Pour $\beta_n$, on observe que $\lim_{n\to+\infty}\frac{\beta_n}{n}=0$ donc $\beta_n=o(n)$ et le résultat découle de b). Enfin en raisonnant de même, on montre que $\gamma_n=o(n^2)$.
5) Premières propriétés de $H$ :
a) Vérifier que $H$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des applications de $]-1,1[$ dans $\mathbb R$.
C'est une conséquence immédiate qu'une combinaison linéaire de séries convergentes est encore une série convergente.
b) Montrer que les fonctions $\varphi$, $\psi$ et $\delta$ appartiennent à $H$.
Les deux premières fonctions sont des séries géométriques convergentes sur $]-1,1[$ : $$\varphi(x)=\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{2^n},$$ $$\psi(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^n.$$ Tandis que pour la seconde on reconnait une série géométrique dérivée convergente sur $]-1,1[$ $$\delta(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}n(-x)^n=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nnx^n$$
6) Premières propriétés de $E$ :
a) Déterminer les suites géométriques appartenant à $B$.
Une suit géométrique a pour forme $(q^n)_{n\in\mathbb N}$ donc si elle appartient à $B$, elle doit vérifier $$\forall n\in\mathbb N, 2q^{n+3}+3q^{n+2}-q^n=0$$ ce qui est équivalent à $$2q^{3}+3q^{2}-q=0.$$ En remarquant que $q=-1$ est solution évidente, on résoud cette équation et on trouve $q=-1$ ou $q=\frac{1}{2}$.
b) Vérifier que la suite $(\gamma_n)_{n\geq 0}$ appartient à $B$.
On vérifie facilement que : $2(n+3)(-1)^{n+3}+3(n+2)(-1)^{n+2}-n(-1)^n=0$. D'autre part, $(\gamma_n)_{n\in\mathbb N}$ appartient bien à $A$ d'après c).
c) En déduire que $E$ est un sous-espace vectoriel de $H$ contenant les fonctions $\varphi$, $\psi$ et $\delta$.
Pour montrer que $E$ est un sous-ensemble de $H$, il suffit de prouver que $B$ est inclus dans $A$. Or $B$ est un ensemble de suites linéaires d'ordre 3, donc par un argument classique, on montre que c'est un espace vectoriel de dimension 3. Ensuite on sait que $(\alpha_n)_{n\in\mathbb N}$, $(\beta_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(\gamma_n)_{n\in\mathbb N}$ sont dans $B$ et on montre sans peine qu'elles sont linéairement indépendantes donc forment une base de $B$. Or on a aussi vu que ces trois suites étaient dans $A$, donc $B$ est un sous-espace vectoriel de $A$ et donc $E$ est un sous-ensemble de $H$. Enfin on peut montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel en utilisant le fait que $B$ est lui même un espace vectoriel.
7) Caractérisation des éléments de $E$ :
Soit $f$ de $E$ telle que, pour tout $x$ de $]-1,1[$, $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$, où $(a_n)_{n\geq 0}\in B$.
a) Montrer que : $\forall x\in]-1,1[, f(x)(x^3-3x-2)+a_0(2+3x)+a_1(2x+3x^2)+2a_2x^2=0$.
On peut procéder comme suit : $$\begin{align} f(x)(x^3-3x-2)&=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n(x^3-3x-2)\\ &=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{n+3}-3\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{n+1}-2\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\\ &=\sum_{n=3}^{+\infty}a_{n-3}x^{n}-3\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n-1}x^{n}-2\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\\ &=\sum_{n=3}^{+\infty}(a_{n-3}-3a_{n-1}-2a_n)x^n-3a_0x-3a_1x^2-2a_0-2a_1x-2a_2x^2, \end{align}$$ et on conclut facilement en remarquant que $a_{n-3}-3a_{n-1}-2a_n=0$.
b) En déduire qu'il existe une fonction polynôme $Q$ de degré inférieur ou égal à 2 telle que, pour tout $x$ de $]-1,1[$, $f(x)=\frac{Q(x)}{x^3-3x-2}$.
D'après la question précédente : $$f(x)=\frac{-2a_0+x(-3a_0-2a_1)+x^2(-3a_1-2a_2)}{x^3-3x-2}.$$
c) Conclure que $E$ est un espace de dimension finie dont $C=(\varphi,\psi,\delta)$ est une base.
D'après la question précédente, $E$ est un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel engendré par $\frac{1}{x^3-3x-2}$, $\frac{x}{x^3-3x-2}$ et $\frac{x^2}{x^3-3x-2}$ donc est de dimension finie. Il suit que $E$ est au plus de dimension 3. D'autre part $\varphi,\psi,\delta$ sont trois éléments de $E$ et on montre par des arguments classiques que ce sont trois fonctions libres. Or trois fonctions libre dans un espace de dimension au plus 3 est forcément une base.
8) L'endomorphisme u :
Soient $(a_n)_{n\geq 0}$ dans $B$ et $f$ de $E$ telles que : $\forall x\in]-1,1[,f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.
a) Montrer que la suite $(b_n)_{n\geq 0}$, telle que : $\forall n\in\mathbb N, b_n=a_{n+1}$, appartient à $B$.
On note alors $u(f)$ l'application définie par : $\forall x\in]-1,1[,[u(f)](x)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_nx^n$.
Puisque $\forall n\in\mathbb N$, $2a_{n+3}+3a_{n+2}-a_n=0$ alors forcément $\forall n\in\mathbb N$, $2a_{n+4}+3a_{n+3}-a_{n+1}=0$, c'est-à-dire $2b_{n+3}+3b_{n+2}-b_n=0$ et le résultat suit.
b) Vérifier que $u$ est un endomorphisme de $E$.
Le fait que $u$ envoie $E$ dans $E$ est une conséquence de a). Pour la linéarité, on utilise la linéarité des séries convergentes.
c) Déterminer $u^k$ pour tout $k$ de $\mathbb N$. En déduire un polynôme $\pi$ de $\mathbb R[X]$, de degré 3, tel que $\pi(u)=0$.
Pour $f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_nx^n$, on a $[u^k(f)](x)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_{n+k}x^n$. On déduit alors de la relation de récurrence vérifiée par $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ que $$\pi(X)=2X^3+3X^2-1$$ vérifie $\pi(u)=0$.
d) Déterminer la matrice $T$ de $u$ dans la base $C$ et calculer $T^k$ pour tout $k$ de $\mathbb N$.
On a $$[u(\varphi)](x)=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2^{n+1}}x^n=\frac{1}{2}.\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\varphi(x),$$ $$[u(\psi)](x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n+1}x^n=-\psi(x),$$ $$[u(\delta)](x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n+1}(n+1)x^n=-\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}nx^n-\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}x^n=-\delta(x)-\psi(x).$$ La matrice de $u$ dans la base $C$ est donc $$T=\begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$
Pour caculer $T^k$, on décompose T de la façon suivante : $$T=\begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=D+N. $$ Ensuite on montre facilement que $T$ et $N$ commutent et que $N^2=0$ donc en appliquant la formule de Newton on a $T^k=D^k+kD^{k-1}N$, c'est-à-dire : $$T^k=\begin{pmatrix} (1/2)^n & 0 & 0\\ 0 & (-1)^n & k(-1)^n\\ 0 & 0 & (-1)^n \end{pmatrix}$$
9) Eléments propres de $u$ :
a) Quels sont les valeurs propres et sous-espaces propres de $u$?
$T$ étant triangulaire ses valeurs propres sont sur la diagonale et donc les valeurs propres de $u$ sont $\frac{1}{2}$ et $-1$. D'autre part en étudiant les vecteurs propres de $T$, on trouve que le sous-espace propre de $\frac{1}{2}$ est $E_{1/2}=Vect\lbrace\varphi\rbrace$ et le sous-espace propre de $-1$ est $E_{-1}=Vect\lbrace\psi\rbrace$.
b) $u$ est-il diagonalisable?
La somme des dimensions des sous-espaces propres n'est pas égale à la dimension de l'espace vectoriel sur lequel agit l'endomorphisme. Donc $u$ n'est pas diagonalisable.
10) Centre de $u$ :
Soit $v$ un élément du commutant de $u$, c'est à dire un endomorphisme de $E$ tel que $uov=vou$.
a) Montrer qu'il existe des réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $\nu(\varphi)=\lambda\varphi$ et $\nu(\psi)=\mu\psi$.
Comme $\nu$ commute avec $u$, alors $\nu\in C(u)$. Or d'après la partie I, on en déduit que les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $\nu$. Par conséquent dans notre cas $E_{1/2}$ est stable par $\nu$, or $E_{1/2}=Vect\lbrace\varphi\rbrace$ donc comme $\varphi\in E_{1/2}=Vect\lbrace\varphi\rbrace$, $\nu(\varphi)\in E_{1/2}=Vect\lbrace\varphi\rbrace$, d'où l'existence d'un réel $\lambda$ tel que $\nu(\varphi)=\lambda\varphi$. Le raisonnement est identique pour $\psi$.
b) Montrer qu'il existe aussi des réels $\eta$ et $\omega$ tels que $\nu(\delta)=\eta\psi+\omega\delta$.
On peut raisonner comme suit (qui a l'avantage de répondre à la question suivante aussi) : $(\varphi,\psi,\delta)$ étant une base, on peut décomposer $\nu(\delta)$ comme suit $$\nu(\delta)=\alpha\varphi+\eta\psi+\omega\delta.\ (1)$$ Or en composant cette égalité et en commutant $u$ et $\nu$, on déduit que $$\nu(-\delta-\psi)=\frac{1}{2}\alpha\varphi-\eta\psi-\omega\psi-\omega\delta=\frac{1}{2}\alpha\varphi-(\eta+\omega)\psi-\omega\delta,$$ et en utilisant la question précédente $$-\nu(\delta)-\mu\psi=\frac{1}{2}\alpha\varphi-(\eta+\omega)\psi-\omega\delta.$$ D'où l'on déduit que : $$\nu(\delta)=-\frac{1}{2}\alpha\varphi+(\eta+\omega-\mu)\psi+\omega\delta.\ (2)$$ Par unicité de la décomposition dans une base, on peut identifier (1) et (2) de sorte que $\alpha=-\frac{1}{2}\alpha$ et donc $\alpha=0$. Ce qu'il fallait démontrer.
c) Démontrer que $\mu=\omega$.
Il suffit de prolonger le raisonnement de l'identification effectué dans la résolution de la question précédente, on a $\eta=\eta+\omega-\mu$ ce qui donne $\omega=\mu$.
d) Réciproquement, si $\nu$ est un endomorphisme de $E$ pour lequel il existe des réels $\lambda$, $\mu$ et $\eta$ tels que $M_C(\nu)=\begin{pmatrix}\lambda & 0 & 0\\ 0 & \mu & \eta\\ 0 & 0 & \mu\end{pmatrix}$, vérifier que $\nu$ appartient à $C(u)$.
Il suffit de vérifier que $M_C(\nu)$ et $T$ commutent ce qui est une tâche facile.
e) Que vaut $dim[C(u)]$?
L'ensemble des matrice de la forme $M_C(\nu)$ est un espace vectoriel dont une base est $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ donc est de dimension 3. On en déduit que $C(u)$ est lui aussi de dimension 3.
f) Montrer que la famille $(id_E,u,u^2)$ est libre dans $L(E)$.
On peut par exemple montrer que les trois matrices $I,T,T^2$ sont libres ou bien on pourra utiliser $(\varphi,\psi,\delta)$ et leurs images par $u$.
g) Comparer $C(u)$ et $\mathbb R[u]$.
On sait déjà d'après la partie I que $\mathbb R[u]\subset C(u)$. D'autre part $(id_E,u,u^2)$ est libre dans $L(E)$ mais aussi dans $\mathbb R[u]$ donc $\mathbb R[u]$ est de dimension au moins 3. Or $C(u)$ est lui-même de dimension 3 et $\mathbb R[u]\subset C(u)$, donc forcément $\mathbb R[u]= C(u)$.
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