Le problème comporte quatre parties.
On pose : $E_0=\left\{f\in{\cal C}^0(\mathbb R,\mathbb R),\text{ bornée sur }\mathbb R\right\}$; si $f\in E_0$, on notera $N_0(f)=\sup_{x\in\mathbb R}|f(x)|$.
On définit sous réserve d'existence, la fonction $\arctan:x\in\mathbb R\mapsto\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}$.
1) Vérifier que la fonction arctan est bien définie sur $\mathbb R$, impaire, de classe ${\cal C}^{\infty}$ sur $\mathbb R$ et préciser une expression de $\frac{d}{dx}(\arctan)$.
$t\mapsto\frac{1}{1+t^2}$ est continue sur $\mathbb R$ donc $\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}$ est bien définie et $\arctan$ aussi.
Par changement de variable $s=-t$, on montre que $\int_0^{-x}\frac{1}{1+t^2}dt=-\int_0^x\frac{1}{1+s^2}ds$ ce qui prouve l'imparité de $\arctan$.
$t\mapsto\frac{1}{1+t^2}$ est ${\cal C}^{\infty}$ sur $\mathbb R$ et arctan étant une primitive de cette dernière, arctan est donc aussi ${\cal C}^{\infty}$ sur $\mathbb R$.
arctan étant une primitive de $t\mapsto\frac{1}{1+t^2}$, on a $\forall x\in\mathbb R, \frac{d}{dx}(\arctan)(x)=\frac{1}{1+x^2}$.
2) Montrer que arctan admet une limite finie, notée provisoirement $L$, en $+\infty$ et justifier que arctan est une bijection de $\mathbb R$ sur $]-L,L[$.
Comme $\frac{1}{1+t^2}\overset{+\infty}{\sim}\frac{1}{t^2}$, par comparaison avec une intégrale convergente de Riemann, on en déduit que $\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^2}dt$ converge. Donc arctan admet bien une limite en $+\infty$.
Comme $\forall x\in\mathbb R, \frac{d}{dx}(\arctan)(x)=\frac{1}{1+x^2}>0$, arctan est strictement croissante et comme arctan est continue sur $\mathbb R$, arctan réalise une bijection de $\mathbb R$ sur son image. Du plus comme $\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)=L$, par imparité de arctan, $\lim_{x\to-\infty}\arctan(x)=-L$. Par conséquent l'image de arctan est $]-L,L[$ ce qui prouve la bijectivité de arctan de $\mathbb R$ sur $]-L,L[$.
3) Pour tout $x\in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$, calculer $\arctan[\tan(x)]$, en déduire la valeur de $L$.
En dérivant $\arctan[\tan(x)]$, on trouve $(\arctan[\tan(x)])'=1$, par conséquent $\arctan[\tan(x)]=x+c$ où $c$ est une constante. Or $\arctan[\tan(0)]=\arctan(0)=\int_0^0\frac{dt}{1+t^2}=0$, donc $c=0$ et on en déduit que $\arctan[\tan(x)]=x$. Enfin comme $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\tan(x)=+\infty$, on en déduit que $L=\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\arctan[\tan(x)]=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}x=\frac{\pi}{2}$.
4) Justifier que, pour tout $(x,y)\in\mathbb R^2,\ |\arctan x-\arctan y|\leq |x-y|$.
Puisque $|(\arctan(x))'|\leq 1$, l'inégalité suit de l'inégalité des accroissements finis.
5) Montrer que, pour tout $x\in\mathbb R^*_+,\ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$.
En dérivant, on observe que $(\arctan x+\arctan\frac{1}{x})'=0$ donc $\arctan x+\arctan\frac{1}{x}$ est une fonction constante sur l'intervalle $\mathbb R^*_+$. Notons $c$ cette constante, on a $\forall x\in\mathbb R^*_+, \arctan x+\arctan\frac{1}{x}=c$. Or d'après 2), on a aussi que $\lim_{x\to 0^+}\arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$, donc $c=\frac{\pi}{2}$ et le résultat suit.
Si $f\in E_0$, on définit, sous réserve d'existence, $\Phi(f):x\in\mathbb R\mapsto\int_0^{+\infty}\arctan(tx)\frac{f(t)}{1+t^2}dt$.
L'objectif du problème est d'obtenir quelques propriétés de $\Phi(f)$ et de $\Phi$.
6) Vérifier que $E_0$ est un sous-espace vectoriel de ${\cal C}^0(\mathbb R,\mathbb R)$.
Soient $f,g\in E_ 0$ alors il existe $M$ et $M'$ tels que $\forall x\in\mathbb R, |f(x)|\leq M$ et $|g(x)|\leq M'$. Soit $\lambda\in\mathbb R$, on a que $$\forall x\in \mathbb R,|\lambda f(x)+g(x)|\leq|\lambda||f(x)|+|g(x)|\leq |\lambda|M+M'.$$ Il suit que $\lambda f+g\in E_0$, donc $E_0$ est un sous espace vectoriel des fonctions réelles définies sur $\mathbb R$.
7) Soit $f\in E_0$, montrer que, pour tout $x\in\mathbb R,\ \int_0^{+\infty}\arctan(tx)\frac{f(t)}{1+t^2}dt$ est absolument convergente.
Comme $f$ est bornée, il existe une constante $M>0$ telle que $|f|\leq M$. On observe aussi que $|\arctan|$ est bornée par $\frac{\pi}{2}$. Il suit que $$\left|\arctan(tx)\frac{f(t)}{1+t^2}\right|\leq\frac{\pi}{2}\frac{M}{1+t^2}.$$ Or d'après la question 2), nous savons que $\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^2}dt=\frac{\pi}{2}$, donc par comparaison on en déduit que l'intégrale converge absolument.
8) Soit $f\in E_0$, montrer que $\Phi(f)$ est bornée et $N_0\left[\Phi(f)\right]\leq\frac{\pi^2}{4}N_0(f)$.
On commence par observer par l'inégalité triangulaire que $$\forall x\in\mathbb R,\left|\int_0^{+\infty}\arctan(tx)\frac{f(t)}{1+t^2}dt\right|\leq \int_0^{+\infty}\left|\arctan(tx)\frac{f(t)}{1+t^2}\right|dt.$$ En remarquant que $|f(t)|\leq N_0(f)$ et en majorant comme on l'a fait dans la question 7), on obtient $$\forall x\in\mathbb R,\left|\int_0^{+\infty}\arctan(tx)\frac{f(t)}{1+t^2}dt\right|\leq\frac{\pi^2}{4}N_0(f).$$ L'inégalité précédente étant vraie pour tout $x\in\mathbb R$, le résultat suit.
9) Continuité de $\Phi(f)$ pour $f\in E_0$.
dans cette question, $f$ désigne un élément de $E_0$ et $x$ un réel.
a) Soit $A$ un réel strictement positif et $h\in\mathbb R^*$, vérifier que : $$\left|[\Phi(f)](x+h)-[\Phi(f)](x)\right|\leq N_0(f)\left(\int_0^A\frac{|\arctan(t(x+h))-arctan(tx)|}{1+t^2}dt+\int_A^{+\infty}\frac{|\arctan(t(x+h))-arctan(tx)|}{1+t^2}dt\right).$$
Utiliser l'inégalité triangulaire pour les intégrales, puis la relation de Chasles et le fait que $|f|\leq N_0(f)$.
b) En déduire que, pour tout $h\in\mathbb R^*$, pour tout $A>0$, $$\left|[\Phi(f)](x+h)-[\Phi(f)](x)\right|\leq N_0(f)\left(|h|\int_0^A\frac{t}{1+t^2}dt+\pi\int_A^{+\infty}\frac{1}{1+t^2}dt\right).$$
Grâce à 4), on observe que : $$|\arctan(t(x+h))-\arctan(tx)|\leq th.$$ On observe aussi que : $$|\arctan(t(x+h))-\arctan(tx)|\leq |\arctan(t(x+h))|+|\arctan(tx)|\leq 2\frac{\pi}{2}=\pi.$$ On peut alors majorer la première intégrale de la question 9)a) grâce à la première inégalité et la seconde intégrale grâce à la seconde inégalité, et le résultat suit.
c) Soit $h\in\mathbb R^*$, en choisissant $A=\frac{1}{|h|}$, établir que : $$\left|[\Phi(f)](x+h)-[\Phi(f)](x)\right|\leq |h|\frac{N_0(f)}{2}\ln\left(1+\frac{1}{h^2}\right)+\pi N_ 0(f)\arctan|h|.$$
On observe que : $$\int_0^{1/|h|}\frac{t}{1+t^2}dt=\left[\frac{1}{2}\ln(1+t^2)\right]_0^{1/|h|}=\frac{1}{2}\ln\left(1+\frac{1}{h^2}\right).$$ On observe grâce à Chasles et la question 5) que $$\begin{align} \int_{1/|h|}^{+\infty}\frac{1}{1+t^2}dt &=\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+t^2}dt-\int_{0}^{1/|h|}\frac{1}{1+t^2}dt\\ &=\frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{1}{|h|}\right)\\ &=\arctan(|h|)\text{ (d'après 5)} \end{align}.$$ Et le résultat suit en injectant dans la question 9)b).
d) Montrer alors que $\Phi(f)$ est continue sur $\mathbb R$.
On observe que : $$|h|\ln\left(1+\frac{1}{h^2}\right)=|h|\ln\left(\frac{1+h^2}{h^2}\right)=|h|\ln(1+h^2)-|h|\ln(h^2).$$ Par croissance comparée on en déduit facilement que $\lim_{h\to 0}|h|\ln\left(1+\frac{1}{h^2}\right)=0$ et donc d'après 9)c) que $\lim_{h\to 0}\left|[\Phi(f)](x+h)-[\Phi(f)](x)\right|=0$ d'où la continuité.
e) En déduire que $\Phi:f\in E_0\mapsto\Phi(f)$ est un endomorphisme de $E_0$.
La linéarité de $\Phi$ découle de la linéarité des intégrales. Pour $f\in E_0$, $\Phi(f)$ est bornée d'après 8) et est continue d'après 9)d) donc $\Phi(f)\in E_0$. $\Phi$ est donc bien un endomorphisme.
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