EXERCICE

Soit $E=\mathbb R_3[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degrés inférieur ou égal à 3 à coefficients réels. On confond polynôme de $E$ et fonction polynomiale associée définie sur $\mathbb R$.

Soit $d$ l'application définie sur $E$ qui à tout polynôme $P$, associe le polynôme $d(P)=P'$, où $P'$ désigne la dérivée de $P$.

1. Rappeler sans démonstration la dimension de $E$ et la base cacnonique $\cal B$ de $E$.

2. Montrer que $d$ est un endomorphisme de $E$ et donner la matrice associée à $d$ dans la base $\cal B$.

3. Déterminer le noyau de $d$, $\text{Ker}\ d$, l'image de $d$, $\text{Im}\ d$, ainsi que leurs dimensions respectives.

4. Déterminer les valeurs propres de $d$ ainsi que les polynômes propres associés. L'endomorphisme $d$ est-il diagonalisable?

On désigne par $(d^k)_{k\geq 0}$, la suite d'endomorphisme de $E$ définie par : $d^0=I$, où $I$ représente l'endomorphisme identité et, pour tout $k$ de $\mathbb N$, $d^{k+1}=d^ko d$. Pour tout $k$ de $\mathbb N$, $\text{Ker}\ d^k$ désigne le noyau de $d^k$.

5.a) Déterminer pour tout $k$ de $[\![1,4]\!]$, le sous-espace $\text{Ker}\ d^k$ ainsi que sa dimension.

Vérifier que pour tout $k$ de $[\![1,4]\!]$, $d(\text{Ker}\ d^k)\subset \text{Ker}\ d^k$.

b) Soit $P$ un polynôme de degrés $r$, avec $r\in[\![0,3]\!]$. Montrer que la famille $(d^k(P))_{0\leq k\leq r}$ est libre.

6. Dans cette question, on cherche à déterminer les sous-espaces vectoriels $F$ de $E$ tels que $d(F)\subset F$.

a) On suppose que $\text{dim }F=1$. Montrer que $F$ est un sous-espace propre de $d$. En déduire $F$.

b) On suppose que $\text{dim }F=2$. Montrer qu'il existe dans $F$ un polynôme $P$ de degrés supérieur ou égal à 1. En déduire $F$.

c) On suppose que $\text{dim }F=3$. On note $\tilde{d}$ l'endomorphisme de $F$ défini par : pour tout $P$ de $F$, $\tilde{d}(P)=d(P)$.

Montrer que $(\tilde{d})^3=0$. En déduire $F$.

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Formulaire

L'insertion de formules suit la syntaxe LATEX. Toute formule doit être encadrée par des dollars : $\bf{\$formule\$}$. Par exemple $\bf{\$ u\_n \$}$ sera interprétée comme une formule et donnera $\bf{u_n}$. Voici quelques exemples pour ceux qui ne sont pas habitués :

• Indice bas u_n : $u_n$
• Indice haut X^p : $X^p$
• Multi-indices A_{1,2}^{pq} : $A_{1,2}^{pq}$
• Intégrales \int_a^b f(t)dt : $\int_a^b f(t)dt$
• Somme \sum_{i=1}^n u_i : $\sum_{i=1}^n u_i$
• Pour les lettres greques, il suffit de connaître leur noms, \alpha donn $\alpha$, \beta donne $\beta$, etc.
• Et pour les lettres greques majuscules, il suffit de mettre la première lettre en majuscule : \Gamma donne $\Gamma$, \Sigma donne $\Sigma$ etc.