Soit $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$, des réels strictement positifs. On pose : $\displaystyle K=\{z=(z_1,z_2,\dots,z_n)\in\mathbb R^n/\sum_{i=1}^n\alpha_iz_i^2\leq 1\}$.
6. Montrer que $K$ est un sous-ensemble convexe, fermé et borné de $\mathbb R^n$.
Convexité : Il y a plusieurs approches possibles. Probablement la plus courte consiste à se souvenir que $z\mapsto z^2$ est convexe donc pour tout $t\in[0,1]$ et tout $i\in\{1,\dots,n\}$ : $$(tz_i+(1-t)z'_i)^2\leq tz_i^2+(1-t)z'_i^2.$$
Fermé : On considère la fonction $\displaystyle f(z_1,\dots,z_n)=\sum_{i=1}^n\alpha_i z_i^2$. C'est une fonction continue car polynomiale. D'autre part $K=f^{-1}(]-\infty,1])$, donc K est fermé d'après le rappel en préambule du sujet.
Borné : Si on note $\alpha=\min \alpha_i$, alors on a l'inégalité suivante : $\alpha\sum_{i=1}^nz_i^2\leq \sum_{i=1}^n\alpha_iz_i^2\leq 1$. On en déduit que si $\displaystyle\sum_{i=1}^n\alpha_iz_i^2\leq 1$ alors $\displaystyle\sum_{i=1}^nz_i^2\leq\frac{1}{\alpha}$, autrement dir K est inclu dans la boule de centre 0 et de rayon $\frac{1}{\sqrt\alpha}$.
Soit $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ un vecteur donné de $\mathbb R^n$ n'appartenant pâs à $K$ et vérifiant pour tout i de $[\![1,n]\!]$, $x_i>0$. On pose : $\displaystyle K_0=\{z\in K/\sum_{i=1}^n\alpha_iz_i^2=1\}$ et $\displaystyle K_1=\{z\in K/\sum_{i=1}^n\alpha_iz_i^2<1\}$.
7. Soit $f$ la fonction à valeurs réelles définies sur $K$ par : $f(z)=\Vert x-z\Vert^2$.
a) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur l'ouvert $K_1$.
$\displaystyle f(z)=\sum_{i=1}^n(x_i-z_i)^2$, qui est une fonction polynomiale, donc de calsse $C^1$.
b) La restriction de $f$ à $K_1$ admet-elle des points critiques? En déduire que $p(x)$ appartient à $K_0$.
$\frac{\partial f}{\partial z_i}=0\Leftrightarrow z_i=x_i$, donc f admet comme seul point critique $x=(x_1,\dots,x_n)$. Or $x$ n'appartient pas à K donc il n'appartient pas à $K_1$ non plus, donc f n'a pas de point critique dans $K_1$. D'autre part si f atteignait son minimum dans $K_1$, cela devrait être un point critique car $K_1$ est ouvert. Or ici ce n'est pas le cas, donc un minimum de f ne peut être atteint que sur le bord de K, c'est à dire sur $K_0$. Comme la positon où est atteint le minimum correspond à p(x), cela veut dire que p(x) se trouve sur $K_0$.
c) Montrer que les coordonnées de $p(x)$ sont positives ou nulles, non toutes nulles.
Déjà on observe que comme p(x) est dans $K_0$, ses coordonnées vérifient : $\displaystyle\sum_{i=1}^n\alpha_i z_i^2=1$ et donc ne sont pas toutes nulles. D'autre part, on observe que si $z_i<\! 0$, alors $(x_i-z_i)^2\geq(x_i-(-z_i))^2$. Dans ce cas des coordonnées négatives ne permettent pas de minimiser $\Vert x-z\Vert$ (On n'oubliera pas de faire remarquer que si on change le signe de certaines coordonnées d'un élément de K, le nouvel élément est encore dans K).
8. On définit l'ouvert $\Omega$ par : $\Omega=\{(z_1,z_2,\dots,z_n)/\forall i\in[\![1,n]\!],z_i>0\ et\ (z_1,z_2,\dots,z_{n-1},0)\in K_1\}$. Soit $\psi$ et $H$ les fonctions à valeurs réelles définies sur $\Omega$ par : $\displaystyle\psi(z_1,z_2,\dots,z_{n-1})=\sqrt{\frac{1}{\alpha_n}\left(1-\sum_{i=1}^{n-1}\alpha_iz_i^2\right)}$ et $H(z_1,z_2,\dots,z_{n-1})=\sum_{i=1}^{n-1}(x_i-z_i)^2+(x_n-\psi(z_1,z_2,\dots,z_{n-1}))^2$.
On suppose que $(z_1^*,z_2^*,\dots,z_{n-1}^*)$ est un point critique de $H$.
On note $z_n^*=\psi(z_1^*,z_2^*,\dots,z_{n-1}^*)$ et $z^*=(z_1^*,z_2^*,\dots,z_{n-1}^*,z_n^*)$.
a) Montrer que $z_n^*$ est strictement positif et que le vecteur $z^*$ appartient à $K_0$.
On résoud $\frac{\partial H}{\partial z_i}(z_n^*)=0$, ce qui donne $2(x_i-z^*_i)+2\frac{\partial \psi}{\partial z_i}(x_n-\psi(z^*_1,\dots,z^*_{n-1}))=0$, soit en réorganisant et utilisant les notations données : $z^*_i=x_i+\frac{\partial \psi}{\partial z_i}(x_n-z^*_n)$. Or $\frac{\partial \psi}{\partial z_i}=-\frac{z^*_i}{\psi(z^*_1,\dots,z^*_{n-1})}$, donc on en déduit que $z^*_i=\frac{x_i}{x_n}z^*_{n}$. Maintenant si $z^*_{n}$ était nul, on aurait $z_i=0$ ce qui contredit la définition de $\Omega$. Enfin pour montrer que $z^*$ est dans $K_0$, il suffit de réécrire l'équation $z^*_n=\psi(z^*_1,\dots,z^*_{n-1})$ à l'aide de la définition de $\psi$ et de réorganiser l'équation.
b) On pose : $\lambda=\frac{1}{\alpha_n}\left(\frac{x_n}{z_n^*}-1\right)$. Montrer que pour tout $i$ de $[\![1,n]\!]$, on a : $z_i^*=\frac{x_i}{1+\lambda\alpha_i}$.
Partir de l'équation obtenur précédemment $z^*_{i}=\frac{x_i}{x_n}z^*_{n}$.
c) On pose : $\displaystyle\beta=\max_{1\leq i\leq n}\left(\frac{-1}{\alpha_i}\right)$. Montrer que $\lambda>\beta$.
En réorganisant $z^*_{i}=\frac{x_i}{1+\lambda\alpha_i}$, on montre que $\lambda=\frac{\frac{x_i}{z^*_{i}}-1}{\alpha_i}$. Or on sait que $\frac{x_i}{z_i}>0$, donc pour tout i : $\lambda>-\frac{1}{\alpha_i}$ et l'inégalité suit.
d) Etudier la fonction définie sur $]\beta,+\infty[$ par $\displaystyle y\mapsto\sum_{i=1}^n\frac{\alpha_ix_i^2}{(1+\alpha_iy)^2}$. En déduire l'existence d'un unique réel $\lambda_0$ vérifiant $\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{\alpha_ix_i^2}{(1+\lambda_0\alpha_i)^2}=1$. Montrer que $\lambda_0$ est strictement positif.
La fonction est strictement décroissante, tend vers 0 à l'infini et tend vers l'infini en $\beta$ donc $\lambda_0$ existe par le théorème des valeurs intermédiaires et il est unique par stricte décroissance de la fonction. La fonction calculée en 0 vaut $\sum_{i=1}^n\alpha_i x_i^2$ qui est strictement plus grand que 1 par hypothèse. Donc toujours par le TVI, $\lambda_0>0$.
Expliciter les coordonnées du vecteur $z^*$ en fonction de $\lambda_0$ et des réels $\alpha_i$ et $x_i$ ($i\in[\![1,n]\!]$).
On sait que $z^*$ est dans $K_0$ donc vérifie : $\sum_{i=1}^n\alpha_iz^{*2}_{i}=1$. Or on a vu que $z^*_{i}=\frac{x_i}{1+\lambda\alpha_i}$, donc $\sum_{i=1}^n\alpha_i\frac{x^2_i}{(1+\lambda\alpha_i)^2}=1$. Or par unicité de $\lambda_0$ établie précédemment, on en déduit que $\lambda=\lambda_0$, d'où $z_i^*=\frac{x_i}{1+\lambda_0\alpha_i}$.
9.a) Etablir pour tout $z$ de $K$, l'inégalité : $\langle z-z^*,x-z^*\rangle\leq 0$. En déduire que $z^*=p(x)$.
En utilisant la formule $z_i^*=\frac{x_i}{1+\lambda_0\alpha_i}$, on trouve : $$\langle z-z^*,x-z^*\rangle=\sum_{i=1}^n\frac{\lambda_0\alpha_i}{(1+\lambda_0\alpha_i)^2}(x_iz_i(1+\lambda_0\alpha_i)-x_i^2).$$ En utilisant la formule $\sum_{i=1}^n\frac{\alpha_ix_i^2}{(1+\lambda_0\alpha_i)^2}=1$, on en déduit que $$\langle z-z^*,x-z^*\rangle=\sum_{i=1}^n\frac{\lambda_0\alpha_i}{1+\lambda_0\alpha_i}x_iz_i-\lambda_0.$$ Puis en utilisant l'inégalité classique $xy\leq\frac{1}{2}(x^2+y^2)$ avec $x=\frac{x_i}{(1+\lambda_0x_i)}$ et $y=z_i$, on en déduit que : $$\langle z-z^*,x-z^*\rangle\leq \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\lambda_0\frac{\alpha_ix_i^2}{(1+\lambda_0\alpha_i)^2}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\lambda_0\alpha_iz_i^2-\lambda_0.$$ Or $\sum_{i=1}^n\frac{\alpha_ix_i^2}{(1+\lambda_0\alpha_i)^2}=1$ et comme z est dans K, on a aussi $\sum_{i=1}^n\alpha_iz_i^2\leq 1$, d'où l'on déduit que $$\langle z-z^*,x-z^*\rangle\leq\lambda_0-\lambda_0=0.$$ Enfin, cette inégalité est ce qui permet de caractériser p(x) comme cela été vu dans la partie I, donc $z^*=p(x).$
b) Montrer que le réel $\displaystyle c=\frac{\lambda_0}{2}\left(1+\sum_{i=1}^n\frac{\alpha_ix_i^2}{1+\lambda_0\alpha_i}\right)$ vérifie pour tout $z$ de $K$ : $\langle x-p(x),z\rangle<\!c<\!\langle x-p(x),x\rangle$.
En utilisant la formule $z_i^*=\frac{x_i}{1+\lambda_0\alpha_i}$, on a $$\langle x-p(x),z\rangle\leq \sum_{i=1}^n\lambda_0\frac{x_i}{1+\lambda_0\alpha_i}x_iz_i.$$ Or $x_iz_i\leq\frac{1}{2}(x_i^2+z_i^2)$, donc : $$\langle x-p(x),z\rangle\leq \frac{\lambda_0}{2} \left( \sum_{i=1}^n\frac{\alpha_i}{1+\lambda_0\alpha_i}x_i^2+\sum_{i=1}^n\frac{\alpha_i}{1+\lambda_0\alpha_i}z_i^2\right).$$ Et comme $\frac{\alpha_i}{1+\lambda_i\alpha_i}\leq \alpha_i$ et le fait que $\sum_{i=1}^n\alpha_iz_i^2\leq 1$, on en déduit l'inégalité de gauche.
Pour l'inégalité de droite, on a : $$\langle x-p(x),x\rangle=\lambda_0\sum_{i=1}^n\frac{\alpha_i}{1+\lambda_0\alpha_i}=\frac{\lambda_0}{2}\left(\sum_{i=1}^n\frac{\alpha_i}{1+\lambda_0\alpha_i}+\sum_{i=1}^n\frac{\alpha_i}{1+\lambda_0\alpha_i}\right).$$ En utilisant le fait que $\frac{1}{1+\lambda_0\alpha_i}\geq\frac{1}{(1+\lambda_0\alpha_i)^2}$, on en déduit que : $$\langle x-p(x),x\rangle\geq\frac{\lambda_0}{2}\left(\sum_{i=1}^n\frac{\alpha_i}{1+\lambda_0\alpha_i}+\sum_{i=1}^n\frac{\alpha_i}{(1+\lambda_0\alpha_i)^2}\right).$$ Puis on conclut en utilisant le fait que $\sum_{i=1}^n\frac{\alpha_i}{(1+\lambda_0\alpha_i)^2}=1$.
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