Un élément $K$ de ${\cal B}_n$ est interprété comme un problème de négociation. Les éléments de $K$ représentent différent accords auxquels sont susceptibles d'aboutir $n$ personnes. Pour $x$ dans $K$, $x_i$ est une mesure du "gain" de la personne $i$. Le statu quo en cas de désaccord est le vecteur nul.
Pour $x\in\mathbb R^n$ et $(i,j)\in[\![1,n]\!]$ avec $i\neq j$, on note $x[i,j]$ le vecteur déduit de $x$ en échangeant les coordonnées de rangs $i$ et $j$ : $x[i,j]_i=x_j$, $x[i,j]_j=x_i$ et $x[i,j]_k=x_k$ si $k\not\in\{i,j\}$.
Pour $K\subset \mathbb R^n$ et $(i,j)\in[\![1,n]\!]^2$ avec $i\neq j$, on note $K[i,j]$ l'ensemble $\{x\in\mathbb R^n/x[i,j]\in K\}$.
Pour $(a,x)\in\mathbb R^n\times\mathbb R^n$, on note $a\otimes x\in\mathbb R^n$ le vecteur $(a_1x_1,\dots,a_nx_n)$. Pour $a\in\mathbb R^n$, $K\subset\mathbb R^n$, on note $a\otimes K$ l'ensemble $\{a\otimes x/x\in K\}$.
Une règle de partage est une application $\phi:{\cal B}_n\to\mathbb R^n$ qui associe à tout problème de négociation $K$ de ${\cal B}_n$, un vecteur $\phi(K)$ de $\mathbb R^n$. On s'intéresse aux règles $\phi$ qui vérifient les propriétés suivantes :
P1 : Pour tout $K\in{\cal B}_n$, $\phi(K)\in K$ et il n'existe pas de point $x\in K$ tel que $x\neq \phi(K)$ et $x\geq\phi(K)$.
P2 : Pour tout $K\in{\cal B}_n$ et $a\in\mathbb R^n$ tel que $a_i>0$ pour tout $i\in[\![1,n]\!]$, on a : $\phi(a\otimes K)=a\otimes\phi(K)$.
P3 : Pour tous $K\in{\cal B}_n$ et $K'\in{\cal B}_n$ tels que $K\subset K'$ et $\phi(K')\in K$, on a : $\phi(K')=\phi(K)$.
P4 : Pour tout $K\in{\cal B}_n$ et pour tout couple $(i,j)$ d'entiers distincts de $[\![1,n]\!]^2$, on a : $\phi(K[i,j])=(\phi(K))[i,j].$
18. Les quatres propriétés P1,P2,P3 et P4 ont chacune une interprétation en terme de symétrie, ou d'optimalité, ou d'invariance par changement s'échelle ou d'invariance par élimination d'options non pertinentes (dans le désordre).
Quelle interprétation peut-on associer à chacune d'elles? Justifier très brièvement votre réponse.
La règle P1 dit que si un accord x est meilleur que $\phi(K)$ alors il doit être égal à $\phi(K)$. P1 est donc une règle d'optimalité.
La propriété P2 veut dire que si au départ on multiplie l'investissement de chacun par un vecteur a, le gain après partage sera augmenté d'autant. Il s'agit donc d'une invariance par changement d'échelle.
La règle P3 veut dire que si on a deux négociations K et K' dont K' offre plus de choix au départ mais dont le partage tombe dans K, alors il suffit de chercher à négocier uniquement dans K le meilleur choix possible. P3 représente donc l'invariance par élimination d'options non pertinentes.
Enfin P4 dit que si on échange la place de deux négociant, leurs places après partage seront modifiées de la même façon. P4 est donc une règle d'invariance par symétrie.
20. Montrer que $\phi^*$, définie dans la question 13, vérifie les propriétés P1,P2,P3 et P4.
P1 : Si x est dans K et vérifie $x> \phi^*(K)$ et $x\neq \phi^*(K)$ alors $\prod x_i\geq\prod\phi^*_i(K)=\max\prod x_i$ ce qui est absurde.
P2 : Il suffit de remarquer que grâce à la positivité de tous les éléments utilisés, on a : $$\max_{y\in a\otimes K}\prod y_i=\max_{x\in K}\prod a_ix_i=\prod a_i\max_{x\in K} x_i=\prod a_i\prod\phi^*_i(K)=a\otimes \phi(K).$$
P3 : On remarque que si $K\subset K'$ alors $g(u)=\max_{x\in K}\prod x_i\leq\max_{x\in K'}\prod x_i=g(u')$, avec $u\in K$ et $u'\in K'$. Or si $\phi^*(K')\in K$, u' est dans K et vérifie $g(u)\leq g(u')$ et donc $g(u)=g(u')$ par maximalité. Enfin on a établit dans la partie III, que $u$ était unique donc $u=u'$, c'est à dire $\phi^*(K)=\phi^*(K')$.
P4 : Provient du fait que si on échange les $x_i$ dans $g(x)=\prod x_i$, on ne change pas g(x).
20. Soit $\phi$ une règle satisfaisant à P1,P2,P3 et P4.
a) On pose : $\displaystyle K_0=\{x\in\mathbb R^n/x\geq \vec 0\ et\ \sum_{i=1}^{n}x_i\leq n\}$. A l'aide de P1 et P4, montrer que $\phi(K_0)=\vec 1$.
On observe que pour tout (i,j), on a $K_0[i,j]=K_0$, de sorte que d'après la propriété P4, on a $\phi(K_0)=\phi(K_0)[i,j]$. Autrement dit permuter les coordonnées de $\phi(K_0)$ ne modifie pas $\phi(K_0)$, et donc toutes ses coordonnées sont égales. $\phi(K_0)$ peut donc s'écrire sous la forme $c\vec 1$ avec $c>0$. Si maintenant $\phi(K_0)\neq \vec 1$, d'après P1 on n'a pas $\vec 1\geq \phi(K_0)$. Or ceci n'est possible que si $c>1$. Mais $\phi(K_0)=c\vec 1$ doit appartenir à $K_0$, ce qui est impossible si $c>1$: Absurde. On a donc bien $\phi(K_0)=\vec 1$.
b) Soit $K$ un élément de ${\cal B}_n$. On considère l'ensemble $F$ défini dans la question 13.
A l'aide de P3 et de la question 17, montrer que $\phi(F)=\vec 1$. En déduire que $\phi(K)=\phi^*(K)$. Conclure.
D'après la question 17 de la partie 2, pour tout x dans F on a $\sum x_i\leq 1$, donc $F\subset K_0$. D'autre part, on a vu dans la question 15 partie II que $\vec 1\in F$, donc $\phi(K_0)=\vec 1\in F$. Donc d'après la propriété P3, $\phi(F)=\vec 1$. Par définition de $F$, on a $$F=\left(\frac{1}{\phi^*_1(K)},\dots,\frac{1}{\phi^*_n(K)}\right)\otimes K.$$ Donc d'après la propriété P2, on a que : $$\vec 1=\phi(F)=\left(\frac{1}{\phi^*_1(K)},\dots,\frac{1}{\phi^*_n(K)}\right)\otimes\phi(K).$$ En multipliant les deux termes de l'égalité par $\left(\phi^*_1(K),\dots,\phi^*_n(K)\right)$, on en déduit que : $$\phi^*(K)=\left(\phi^*_1(K),\dots,\phi^*_n(K)\right)\otimes\vec 1=\vec 1\otimes\phi(K)=\phi(K).$$ En conclusion $\phi^*$ est caractérisée par les propriétés P1 à P4.
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