En utilisant la relation donnée on a que $$h'(t)=bu(t)$$ de sorte que $$h(t)-h(0)=\int_0^tbu(x)dx.$$ Puis en utilisant le fait que $f(0)=0$ et en remplaçant $h$ par sa définition, on trouve la relation recherchée.

Posons $u=c$. Si $a=0$, on trouve $f(t)=bct$. Si $a\neq 0$ on trouve $f(t)=-\frac{bc}{a}\left(1-e^{at}\right)$.

Supposons maintenant $b\neq 0$. Si $a=0$, on pose $u=c=\frac{y}{b}$ et on prouve ainsi que $(a,b)$ est contrôlable. Si $a\neq 0$, on pose $u=-\frac{a}{b}(1-e^a)y$ et on prouve ainsi que $(a,b)$ est contrôlable.

Pour finir, si $b=0$, on doit avoir $f'(t)=af(t)$ et la encore on fait deux cas. Soit $a=0$ alors $f$ est constante, mais comme $f(0)=0$, $f$ est la fonction nulle. Par conséquent pour tout $y$ non nul, aucun choix de $u$ ne donnera $f(1)=y$. $(a,b)$ n'est donc pas contrôlable. Si $a\neq 0$, comme $f'=af$ et $f(0)=0$, là encore $f$ doit être la fonction nulle et là encore $(a,b)$ n'est pas contrôlable.

$u(x)W(x)$ appartient à ${\cal G}_p$ est une conséquence immédiate de 10.d).

Pour montrer que $\int_0^1u(x)W(x)dx$ appartient à ${\cal G}_p$, on utilise le théorème de Riemann qui nous permet d'affirmer que $$\int_0^1u(x)W(x)dx\lim_{n\to+\infty}n\sum_{k=0}^{n-1}u\left(\frac{1}{n}\right)W\left(\frac{1}{n}\right).$$ ${\cal G}_p$ étant un espace vectoriel la somme ci dessus appartient à ${\cal G}_p$, d'autre part d'après 10.c), la limite de la somme ci dessus appartient également à ${\cal G}_p$. D'où le résultat.

Il suffit de poser $u(x)=\!^tZW(x)$, de justifier la continuité d'un $u$ puis d'exploiter le théorème classique qui affirme que si $f$ est continue, positive sur $[a,b]$ et que $\int_a^bf(t)dt=0$ alors $f$ est nulle sur $[a,b]$.

On observe déjà que $$0=\!^tZW(1)=\!^tZB$$ donc la relation cherchée est valide pour $k=1$.

D'autre part la relation $\!^tZW(x)=0$ s'écrit aussi $\!^tZT_A(1-x)B$ de sorte que pour $r>1$, on peut poser $1-x=\frac{1}{r}$ et donc $\!^tZT_A\left(\frac{1}{r}\right)B$. En injectant cela dans la relation ($\star$), on en déduit que $$\lim_{r\to+\infty}-r^{n+1}\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!r^k}\!^tZA^kB=\frac{1}{(n+1)!}\!^tZA^{n+1}B.$$ Si on pose $n=0$, en utilisant le fait que $\!^tZB=0$, la relation ci dessus nous donne que $$0=\!^tZAB$$ Nous avons donc prouvé que $0=\!^tZB=\!^tZAB$. Si on pose maintenant $n=1$, toujours avec la même relation et ce qu'on vient de démontrer on trouve $$0=\frac{1}{2}\!^tZA^2B.$$ Et on continue ainsi de suite par récurrence forte!

Si $(A,B)$ est contrôlable $\int_0^1u(x)W(x)dx$ peut atteindre toutes les valeurs possibles de ${\cal M}_{p,1}$. Mais d'après 12.a) $\int_0^1u(x)W(x)dx$ est dans ${\cal G}_p\subset{\cal M}_{p,1}$, par conséquent on doit avoir ${\cal G}_p={\cal M}_{p,1}$. Or $K_p$ est une matrice carré et $Im(K_p)={\cal G}_p={\cal M}_{p,1}$ ce qui implique que $K_p$ est inversible.

Supposons maintenant que $(A,B)$ n'est pas contrôlable. On montre facilement que l'ensemble des cibles est un espace vectoriel (le prouver!), donc si $(A,B)$ n'est pas contrôlable, cet espace est différent de ${\cal M}_{p,1}$ et admet un orthogonal non nul. Prenons alors $Z$ non nul dans cet orthogonal, on a alors que pour toute fonction continue $u$, $\int_0^1u(x)\!^tZW(x)dx=0$. D'après c) ceci implique que $\forall k\in[\![1,p]\!], \!^tZA^{k-1}B=0$ c'est à dire que $Z$ est orthogonal à ${\cal G}_p$ c'est à dire orthogonal à $Im(K_p)$. Il suit que $Im(K_p)\neq {\cal M}_{p,1}$ et donc $K_p$ n'est pas bijective.

En itérant terme à terme, on trouve $$X_{s,k}=\sum_{i=1}^ks_{k+1-i}A^{i-1}B,$$ ce qui se traduit matriciellement par $$X_{s,q}=K_q\begin{pmatrix}s_q\\ s_{q-1}\\ \vdots\\ s_1\end{pmatrix},$$ autrement dit $C_s=\begin{pmatrix}s_q\\ s_{q-1}\\ \vdots\\ s_1\end{pmatrix}$.

Par hypothèse $K_p$ est inversible, par conséquent puisque $q\geq p$, les colones de $K_q$ contiennent les colonnes de $K_p$ et donc $Im(K_p)=Im(K_q)={\cal M_{p,1}}$ (se rappeler que Im est engendré par les colonnes!). Par conséquent pour tout $Y\in {\cal M_{p,1}}$, il existe $C_s\in {\cal M_{p,1}}$ tel que $Y=K_qC_s$ c'est à dire $Y=X_{s,q}$.

On remarque que minimiser la fonction $J$ est équivalent à minimiser la fonction $H(s_1,\dots,s_q)=J(s_q,\dots,s_1)$, par conséquent une condition de minimisation sur $\begin{pmatrix}s_1\\ \vdots\\ s_q\end{pmatrix}$ conduit à une condition sur $C_s$. On a que $$\nabla J(s)=2\begin{pmatrix}s_1\\ \vdots\\ s_q\end{pmatrix}.$$ Comme $\nabla J(s^*)$ doit appartenir à l'orthogonal de l'espace engendré par les contraintes linéaires, on trouve que $$\nabla J(s^*)\in Im(\!^tK_q),$$ soit encore avec la remarque précédente $$C_{s^*}\in Im(\!^tK_q).$$ Il existe alors $X\in{\cal M}_{p,1}$ tel que $C_s=\!^tK_qX$. Il suit que $K_qC_{s^*}=K_q\!^tK_qX$, mais comme $K_q\!^tK_q$ est inversible on a aussi que $$X=(K_q\!^tK_q)^{-1}K_qC_{s^*}.$$ On en déduit que $$C_{s^*}=\!^tK_q(K_q\!^tK_q)^{-1}K_qC_{s^*}.$$ Enfin puisque $Y=K_qC_s$, on en déduit que $$C_{s^*}=\!^tK_q(K_q\!^tK_q)^{-1}Y,$$ qui est bien l'unique expression vérifiée par le point critique.

Considérons un point $s$ vérifiant la contrainte $K_qC_s=Y$ et posons $H=C_s-C_{s^*}$. On a ceci $$\begin{cases}K_qC_s=Y\\ K_qC_{s^*}=Y\end{cases}\Longrightarrow K_qH=0.$$ D'autre part en observant que $J(s)=\!^tC_sC_s=\langle C_s,C_s\rangle$, on a que $$\begin{align} J(s)-J(s^*)&=\langle C_s,C_s\rangle-\langle C_{s^*},C_{s^*}\rangle \\ &=\langle C_{s^*}+H,C_{s^*}+H\rangle-\langle C_{s^*},C_{s^*}\rangle\\ &=2\langle C_{s^*},H\rangle+\Vert H\Vert^2. \end{align} $$ Mais comme $C_{s^*}=\!^tK_q(K_q\!^tK_q)^{-1}Y$ et que $K_qH=0$, on en déduit que $\langle H,C_{s^*}\rangle=\!^tY\!^t(K_q\!^tK_q)^{-1}K_qH=0$. Donc $$J(s)-J(s^*)=\Vert H\Vert^2\geq 0,$$ et $s^*$ réalise bien un minimum global sous la contrainte $X_{s,q}=Y$.