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Sommes multiples.


Nous montrons dans cette vidéo comment manipuler efficacement les sommes multiples.

Synopsis :

Niveau d'accessibilité : Terminale.


Exercices


Exercice (HEC 2014, 8, 9, 10) Soit un entier supérieur ou égal à 2. On considère N réels d_1,d_2,\dots,d_N (appelés points de départ) et N réels a_1,a_2,\dots,a_N (appelés points d'arrivée) vérifiant d_1<\! d_2<\! \dots<\! d_N et a_1<\! a_2<\! \dots<\! a_N.

On pose : D=\{d_1,d_2,\dots,d_N\} et A=\{a_1,a_2,\dots,a_N \}.

1.a) Montrer que pour tout couple (k,l)\in[\![1,N]\!]^2, on a : d_ka_k\geq d_ka_l+d_la_k-d_la_l.

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b) En déduire à l'aide d'une double sommation que pour tout N-uplet (p_1,p_2,\dots,p_N)\in\mathbb R_+^N tel que \sum_{k=1}^Np_k=1, on a : \sum_{k=1}^Np_kd_ka_k\geq\left(\sum_{k=1}^Np_kd_k\right)\times\left(\sum_{k=1}^Np_ka_k\right)\ (1)

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2. Soit une application t:[\![1,N]\!]\to [\![1,N]\!]. On réordonne la liste (t(1),t(2),\dots,t(N)) selon les valeurs croissantes et on note alors (\hat t(1),\hat t(2),\dots,\hat t(N)) la liste ordonnée obtenue. On a donc \hat t(1)\leq\hat t(2)\leq\dots\leq\hat t(N).

a) Justifier pour tout n\in[\![1,N]\!], l'inégalité : \sum_{k=n}^Na_{t(k)}\leq\sum_{k=n}^Na_{\hat t(k)}.

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b) On pose d_0=0. Justifier l'égalité : \sum_{n=1}^Nd_na_{t(n)}=\sum_{n=1}^N\left((d_n-d_{n-1})\sum_{k=n}^Na_{t(k)}\right).

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c) Etablir l'inégalité : \sum_{n=1}^Nd_na_{t(n)}\leq\sum_{n=1}^Nd_na_{\hat t(n)}\ (2).

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On appelle programme de transport, toute bijection T de D sur A, et coût d'un programme de transport T, la somme c(T) définie par : c(T)=\sum_{k=1}^N(d_k-T(d_k))^2.

3. Soit \hat T le programme de transport défini par : pour tout k\in[\![1,N]\!],\ \hat T(d_k)=a_k.

Déduire des questions précédentes que le programme \hat T est optimal, c'est à dire que pour tout programme de transport T, on a : c(T)\geq c(\hat T).

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Autre exercice de sommes multpiles combinées avec de l'algèbre linéaire : ECRICOME 2012 Problème Partie III 6.

Contacter l'auteur du site : frederic.millet @ math-sup.fr