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Problème : Partie I


Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont supposées définies sur un espace probabilisé $(\Omega,{\cal A},P)$. Sous réserve d'existence, on note $E(X)$ et $V(X)$ respectivement, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire $X$, et $Cov(X,Y)$ la covariance de deux variables aléatoires $X$ et $Y$.

Dans les parties I et III, la fonction de répartition et une densité d'une variable aléatoire $X$ à densité sont notées respectivement, $F_X$ et $f_X$.

On admet que les formules donnant l'espérance et la variance d'une somme de variables aléatoires discrètes, ainsi que la définition et les propriétés de la covariance et du coefficient de corrélation linéaire de deux variables alétoires discrètes, s'appliquent au cas de variables à densité.

Pour $n$ entier supérieur ou égal à 2, on dit que les variables aléatoires à densité $X_1,X_2,\dots,X_n$ sont indépendantes si pour tout n-uplet $(x_1,\dots,x_n)$ de réels, les évènements $[X_1\leq x_1],[X_2\leq x_2],\dots,[X_n\leq x_n]$ sont indépendants.

L'objet du problème est double : d'une part, montrer certaines analogies entre les lois géométrique et exponentielle, d'autre part, mettre en évidence quelques propriétés asymptotiques de variables aléatoires issues de la loi exponentielle.

La partie II est indépendante de la partie I. La partie III est indépendante de la partie II et largement indépendante de la partie I.

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