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Premières techniques élémentaires de calcul

Si vous vous êtes exercé à la méthode d'identification, vous avez vu que ce qui fait perdre le plus de temps dans les calculs, c'est la mise au même dénominateur et la résolution du système que l'on obtient après identification. Avec les deux méthodes que je vous présente, vous gagnerez à tous coup du temps par rapport à la mise au dénominateur.

Assez de blabla, passons à la vidéo.

Passons maintenant à quelques petites applications de ces techniques élémentaires.

Exercice : Donner la décomposition en éléments simples dans $\mathbb C$ de

  1. $\frac{X+1}{X(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)}$ (essayer de faire de tête pour éviter les longueurs...)
  2. $\frac{X^3}{2X^2+2X-6}$

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1. Le dégré du numérateur est strictement inférieur au dénominateur donc il existe $A,B,C,D,E\in\mathbb R$ tels que : $$(E):\ \frac{X+1}{X(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)}=\frac{A}{X}+\frac{B}{X-1}+\frac{C}{X-2}+\frac{D}{X-3}+\frac{E}{X-4}$$ On a alors $$\begin{align} &(E)\times X\text{ et }X=0\text{ donne }A=\frac{1}{24}\\ &(E)\times (X-1)\text{ et }X=1\text{ donne }B=\frac{-1}{3}\\ &(E)\times (X-2)\text{ et }X=2\text{ donne }C=\frac{3}{4}\\ &(E)\times (X-3)\text{ et }X=3\text{ donne }D=\frac{-2}{3}\\ &(E)\times (X-4)\text{ et }X=4\text{ donne }E=\frac{5}{24}\\ \end{align}$$ (Vous trouvez ça long? Imaginer avec la méthode d'identification!) On a alors : $$\frac{X+1}{X(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)}=\frac{1/24}{X}-\frac{1/3}{X-1}+\frac{3/4}{X-2}-\frac{2/3}{X-3}+\frac{5/24}{X-4}.$$

2. Le numérateur est de degré supérieur au dénominateur, par conséquent, on commence par une division Euclidienne. Je trouve $$X^3=(2X^2+2X-6)\left(\frac{1}{2}X-\frac{1}{2}\right)+4X-3.$$ On reporte cela dans la fraction rationnelle $$\frac{X^3}{2X^2+2X-6}=\frac{(2X^2+2X-6)\left(\frac{1}{2}X-\frac{1}{2}\right)+4X-3}{2X^2+2X-6}=\frac{1}{2}X-\frac{1}{2}+\frac{4X-3}{2X^2+2X-6}.$$ Reste à décomposer $\frac{4X-3}{2X^2+2X-6}$. La recherche des racines de $2X^2+2X-6$ donne la factorisation (n'oubliez pas le coefficient dominant) $2X^2+2X-6=2(X-2)(X+3)$. On a alors : $$\frac{4X-3}{2X^2+2X-6}=\frac{4X-3}{2(X-2)(X+3)}=\frac{A}{X-2}+\frac{B}{X+3}\ (E).$$ On a alors : $$\begin{align} &(E)\times(X-2)\text{ et }X=2\ :\ A=\frac{1}{2}\\ &(E)\times(X+3)\text{ et }X=-3\ :\ B=\frac{3}{2}. \end{align}$$ On a alors que $$\frac{X^3}{2X^2+2X-6}=\frac{1}{2}X-\frac{1}{2}+\frac{1/2}{X-2}+\frac{3/2}{X+3}.$$

Exercice : Donner la décomposition en éléments simples dans $\mathbb R$ de

  1. $\frac{9X^2+9X}{(X-1)^2(X+2)^3}$
  2. $\frac{1}{(X+1)^2(X^2+X+1)}$ (astuce : rien ne vous oblige à chercher les racines complexes!)

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1. Le numérateur est de degré strictement inférieur au dénominateur donc il existe $A,B,C,D,E\in\mathbb R$ tels que $$(E):\ \frac{9X^2+9X}{(X-1)^2(X+2)^3}=\frac{A}{X-1}+\frac{B}{(X-1)^2}+\frac{C}{X+2}+\frac{D}{(X+2)^2}+\frac{E}{(X+2)^3}.$$ On trouve $B$ et $E$ par la technique multiplicative : $$\begin{align} &(E)\times(X-1)^2\text{ et }X=1\ :\ B=\frac{2}{3}\\ &(E)\times(X+2)^3\text{ et }X=-2\ :\ E=2. \end{align}$$ On a donc $$\frac{9X^2+9X}{(X-1)^2(X+2)^3}=\frac{A}{X-1}+\frac{2/3}{(X-1)^2}+\frac{C}{X+2}+\frac{D}{(X+2)^2}+\frac{2}{(X+2)^3}.$$ Reste à trouver $A,C,D$ en posant des $X$. $$\begin{align} &X=0\ :\ 0=-A+\frac{2}{3}+\frac{C}{2}+\frac{D}{4}+\frac{1}{4}\\ &X=-1\ :\ 0=-\frac{A}{2}+\frac{1}{6}+C+D+2\\ &X=2\ :\ \frac{27}{32}=A+\frac{2}{27}+\frac{C}{4}+\frac{D}{16}+\frac{1}{32} \end{align}$$ En résolvant on trouve alors $A=1/3$, $C=-1/3$, $D=-5/3$ et donc on a : $$\frac{X^2+X}{(X-1)^2(X+2)^3}=\frac{1/3}{X-1}+\frac{2/27}{(X-1)^2}-\frac{1/3}{X+2}-\frac{5/3}{(X+2)^2}+\frac{2/9}{(X+2)^3}.$$

2. Le numérateur est de degré strictement inférieur au dénominateur et $X^2+X+1$ est à racines complexes donc il existe $A,B,C,D\in\mathbb R$ tels que : $$(E):\ \frac{1}{(X+1)^2(X^2+X+1)}=\frac{A}{X+1}+\frac{B}{(X+1)^2}+\frac{CX+D}{X^2+X+1}.$$

On cherche $B$ par la méthode multiplicative $$(E)\times(X+1)^2\text{ et }X=-1\ :\ B=1.$$ On a donc $$\frac{1}{(X+1)^2(X^2+X+1)}=\frac{A}{X+1}+\frac{1}{(X+1)^2}+\frac{CX+D}{X^2+X+1}$$ Ici j'aurais pu, comme dans la vidéo, chercher les racines de $X^2+X+1$ puis multiplier (E) par $X^2+X+1$ puis poser $X$ égal à une des racines complexes. Mais commes les racines de $X^2+X+1$ sont un peu barbares, je préfère employer la méthode "poser des X". Allons-y : $$\begin{align} &X=0\ :\ 1=A+1+D\\ &X=1\ :\ \frac{1}{12}=\frac{A}{2}+\frac{1}{4}+\frac{C+D}{3}\\ &X=-2\ :\ \frac{1}{3}=-A+1+\frac{-2C+D}{3}. \end{align}$$ On résoud et on trouve $A=1$, $C=D=-1$, donc $$\frac{1}{(X+1)^2(X^2+X+1)}=\frac{1}{X+1}+\frac{1}{(X+1)^2}-\frac{X+1}{X^2+X+1}.$$

Si vous avez expérimenté la méthode "poser des X" dans les exemples précédents, vous avez remarqué que bien souvent les équations que l'on obtient font intervenir toutes les constantes et sont bardées de fractions, ce qui est pénible. La technique que je vous présente dans la vidéo qui suit n'est pas indispensable dans la pratique mais a l'atout de produire des équations avec moins de coefficients et bien souvent sans fraction. D'autre part, elle a aussi l'avantage d'être simple, pourvu que l'on sache calculer des limites!

En guise d'application, reprenons un exemple que je vous avait donné à faire par identification. Si vous eu le courage de le faire la première fois jusqu'au bout, vous pourrez évaluer l'efficacité des techniques élémentaires par rapport à l'identification.

Exercice : Donner la décomposition en éléments simples dans $\mathbb R$ de $$\frac{3X+1}{(X+1)(X^2+2X+2)^2}$$

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Le numérateur est de degré strictement inférieur au dénominateur et $X^2+2X+2$ est à racines complexes, alors il existe $A,B,C,D,E\in\mathbb R$ tels que $$(E):\ \frac{3X+1}{(X+1)(X^2+2X+2)^2}=\frac{A}{X+1}+\frac{BX+C}{X^2+2X+2}+\frac{DX+F}{(X^2+2X+2)^2}.$$ On fait $(E)\times (X+1)$ et $X=-1$, et on trouve $A=-2$. Ensuite on fait $(E)\times X$ et $X\to+\infty$ et on trouve $A+B=0$. Par conséquent on a $B=2$ et on a trouvé $$(E):\ \frac{3X+1}{(X+1)(X^2+2X+2)^2}=\frac{-2}{X+1}+\frac{2X+C}{X^2+2X+2}+\frac{DX+F}{(X^2+2X+2)^2}.$$ On va maintenant poser des $X$. $$\begin{align} &X=0\ :\ \frac{1}{4}=-2+\frac{C}{2}+\frac{F}{4}\Longrightarrow 2C+F=9\\ &X=1\ :\ \frac{2}{25}=-1+\frac{2+C}{5}+\frac{D+F}{25}\Longrightarrow 5C+D+F=17\\ &X=-2\ :\ \frac{5}{4}=\frac{C}{2}+\frac{-2D+F}{4}\Longrightarrow 2C-2D+F=5 \end{align}$$ On résoud alors le système et on trouve $C=D=2$ et $E=5$. Et on trouve $$\frac{3X+1}{(X+1)(X^2+2X+2)^2}=\frac{-2}{X+1}+\frac{2X+2}{X^2+2X+2}+\frac{2X+5}{(X^2+2X+2)^2}.$$

Il ne sert à rien de faire des milliers d'exercices sur ce thème. Cependant si vous avez encore besoin de vous tester sur la méthode des limites, vous pouvez parfaitement reprendre les exercices précédents avec cette nouvelle technique.

Contacter l'auteur du site : frederic.millet @ math-sup.fr