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Comment vérifier ses calculs sur une machine

Vous tomberez peut-être sur des exercices de décomposition en éléments simples non corrigés et vous voudrez savoir si vos calculs sont corrects. Ou encore tout simplement, vous aurez la flemme de faire des calculs que vous savez parfaitement faire, mais là franchement il y a votre série préférée qui vous attend et bref... juste pas envie quoi!

Sur cette page je vous donne deux outils qui vont effectuer les calculs à votre place, un en ligne et un sur machine. Voilà ce que vous trouverez sur cette page :


Wolfram Alpha : faire ma décomposition en ligne


Wolfram Alpha est la version en ligne du logiciel de calcul formel Mathematica. Qu'est ce qu'un logiciel de calcul formel? Bah grosso modo ça sait faire des calculs avec des X alors que votre bête calculatrice de poche, elle ne sait que manier des nombres.

Le gros avantage de Wolfram Alpha est que vous n'avez rien à installer sur votre ordi et en plus c'est gratuit. Le soucis c'est que vous ne pourrez pas travailler sans connexion internet et, perso, je trouve le site un peu lent... Mais bon, on ne peut pas tout avoir en même temps.

Si vous vous rendez à l'adresse suivante http://www.wolframalpha.com/, vous allez tomber sur une sorte de moteur de recherche qui ressemble à ça :

C'est dans la barre de recherche que vous allez devoir taper une commande qui va faire tous les calculs pour vous.

Prenons un exemple. Supposons que l'on veuille la décompositione en éléments simples de cette fraction rationnelle : $$\frac{3X+1}{(X+1)(X^2+2X+2)^2}$$ Alors vous allez taper la commande suivante :

Apart[(3*X+1)/((X+1)*(X^2+2*X+2)^2),X]

Analysons la structure de la saisie. D'abord il y a le nom de la commande qui s'appelle "Apart", c'est elle qui fait le travail de décomposition. Elle prend la forme suivante

Apart[ la fraction rationnelle , le nom de la variable ]

A la place de la fraction rationnelle, il vous suffit de saisir votre fraction (pour nous c'est (3*X+1)/((X+1)*(X^2+2*X+2)^2)) et à la place du nom de la variable, hé bien... vous mettez le nom de la variable! (ici X).

Vous prendrez bien garde à bien spécifier vos multiplications. Par exemple 3X risque de ne pas être compris, il faudra bien écrire 3*X. D'autre part faites un bon usage des parenthèses avec l'usage des priorités que vous avez certainement dû expérimenter avec une calculatrice classique.

Voilà ce que j'obtient après avoir validé :

Vous voyez dans la ligne "Input" la commande que vous avez tapé apparaît mais sous une forme quelque peu plus lisible que dans la barre de saisie. C'est l'occasion pour vous de vérifier si vous n'avez pas fait d'erreur de frappe.

Plus bas dans la ligne "Result", hé bien vous avez le résultat!

Il y aurait beaucoup de choses à explorer sur ce site, mais vous en savez déjà maintenant l'essentiel!


MAXIMA : faire ma décomposition sur mon ordi


Tout d'abord il vous faudra télécharger gratuitement et installer MAXIMA. Vous trouverez votre bonheur ici :

Télécharger MAXIMA

Pour ma part je suis sous linux et utilise MAXIMA en ligne de commande, donc l'esthétique de mes captures d'écran sera quelque peu différente de votre ordi, mais ce qui compte ce sont les résultats!

On garde notre exemple de tout à l'heure : $$\frac{3X+1}{(X+1)(X^2+2X+2)^2}$$ La commande pour obtenir la décomposition est cette fois-ci :

partfrac((3*X+1)/((X+1)*(X^2+2*X+2)^2),X);

Vous remarquerez une syntaxe assez similaire à celle de Wolfram. Je refais le point pour comparaison :

partfrac( fraction rationnelle , nom de variable );

Il y a deux différences importantes à noter par rapport à WolframAlpha. D'une part, les paramètres de sont mis entre parenthèses "()" et pas entre crochet "[]". D'autre part votre commande doit impérativement être terminée par un point virgule ";". Si vous ne terminer pas votre commande par un point virgule, vous risquez d'attendre longtemps le résultat!

Une fois bien saisie votre commande, il ne vous reste plus qu'à taper "Entrée" et voilà ce que j'obtiens sur mon écran :

Il faut avouer que c'est beaucoup moins sexy qu'avec WolframAlpha. Par contre, c'est très rapide, gratuit et pas besoin d'internet, ce qui vaut le sacrifice de la forme!

Un dernier truc pour vous éviter de chercher partout. Pour quitter MAXIMA vous devrez taper "quit();" puis "Entrée".


Limites des logiciels


Autant vous le dire, même si ces logiciels sont super pratiques, ce ne sont pas des logiciels miracles!

Pour vous montrer cela, essayez de demander à MAXIMA (Wolfram ne pose pas de problème sur cet exemple) la décomposition en éléments simples de $\frac{1}{X^5-1}$. Alors vous obtiendrez une réponse curieuse qui ne correspond pas à la décomposition en éléments simples telle que présentée ici. Je n'ai pas creusé la question, mais je soupçonne en fait que certains logiciels gèrent mal les racines complexes du dénominateur de la fraction rationnelle.

Bref, mon conseil : lorsque vous lancer une décomposition en éléments simples sur une machine, assurez vous d'avoir une idée de la forme de la réponse avant de la recopier bêtement sur votre devoir maison!!

Contacter l'auteur du site : frederic.millet @ math-sup.fr