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EXERCICE 2


On considère :

1. Etude de $f$

(a) Si $(a,b)$ est un point critique de $f$, justifier que $a=b$ puis déterminer tous les points critiques de $f$ ainsi que la valeur de $f$ en chacun de ses points critiques.

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$(a,b)$ est un point critique si et seulement si $$\left\lbrace \begin{align} &2a-4a^3+2b=0\\ &2b-4b^3+2a=0 \end{align} \right.$$ En soustrayant ces deux équations, on a $a^3-B^3=0$, c'est à dire $a=b$.

On réinjecte alors le fait que $a=b$ dans le système et on trouve que $a-a^3=0$, c'est à dire $a=0$ ou $a=1$ ou $a=-1$. Donc les points critiques sont $(0,0)$, $(1,1)$ et $(-1,-1)$. En ces points $f$ vaut $$f(0,0)=0,\ f(1,1)=f(-1,-1)=\frac{2}{5}.$$

On admettra dans toute la suite que : $$\forall (x,y)\in\mathbb R^2,\ f(x,y)\leq\frac{2}{5}\left(x^2+y^2\right)-\frac{1}{10}\left(x^2+y^2\right)^2.$$

(b) Préciser le ou les extremums de la fonction $g:t\in\mathbb R_+\mapsto \frac{2t}{5}-\frac{t^2}{10}$.

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On trouve $max(g)=\frac{2}{5}$.

(c) Démontrer que la fonction $f$ possède un maximum et qu'elle n'est pas minorée.

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Si on pose $t=x^2+y^2$ par le résultat admis et le résultat de la question 1.(b) on a $$f(x,y)\leq g(t)\leq\frac{2}{5}$$ donc $f$ est majorée par $\frac{2}{5}$. D'autre part, $f(1,1)=\frac{2}{5}$ donc $\frac{2}{5}$ est le maximum de $f$.

On observe que $\lim_{x\to+\infty}f(x,0)=-\infty$ donc $f$ n'est pas minorée.

2. Programmation de $(u_n)_{n\geq 0}$. Ecrire un programme en PASCAL demandant à l'utilisateur un entier $N$ ainsi que les valeurs initiales $u_0,\ u_1$ et calculant la valeur de $u_N$ correspondante.

3. Etude de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$. On considère la suite $(a_n)_{n\geq 0}$ définie par : $$\forall n\in \mathbb N,\ a_{n+2}=\frac{2}{5}(a_n+a_{n+1})\text{ avec }a_0=u_0\text{ et }a_1=u_1.$$

(a) Démontrer que : $\forall n\geq 0,\ 0\leq u_n\leq 1$. En déduire que : $\forall n\in\mathbb N,\ u_{n+2}\leq\frac{2}{5}(u_n+u_{n+1})$.

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Pour la première affirmation, on procède par récurrence double en posant $$P(n):\ u_n\in[0,1]\text{ et }u_{n+1}\in[0,1]$$ L'initialisation est immédiate. Tandis que pour l'hérédité, on utilise le fait que si $x,y\in[0,1]$, alors $0\leq f(x,y)\leq \frac{2}{5}\leq 1$.

Pour le second résultat, on utilise le fait que $u_n\in[0,1]$ donc $u_n^2\leq u_n$ puis on utilise le résultat admis qui nous donne : $$u_{n+2}\leq f(u_n,u_{n+1})\leq\frac{2}{5}(u_n^2+u_{n+1}^2)-\frac{1}{10}(u_n^2+u_{n+1}^2)^2\leq\frac{2}{5}(u_n+u_{n+1}).$$

(b) Justifier que : $\forall n\geq 0,\ u_n\leq a_n$.

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Procéder par récurrence double en posant $$P(n):\ u_n\leq a_n\text{ et }u_{n+1}\leq a_{n+1}.$$

(c) Etablir l'existence de quatre réels $\lambda,\mu,r,s$ tels que : $$\forall n\in\mathbb N,\ a_n=\lambda r^n+\mu s^n$$ puis étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$.

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$a_n$ est une suite récurrente linéaire d'ordre $2$ de polynôme caractéristique $P(X)=X^2-\frac{2}{5}X-\frac{2}{5}$ admettat deux racines réelles $r$ et $s$. La suite a donc pour forme $$a_n=\lambda r^n+\mu s^n$$ Or en calculant les racines, on observes qu'elles sont de valeur absolue strictement inférieures à $1$ donc $\lim_{n\to+\infty}a_n=0$. Enfin comme $0\leq u_n\leq a_n$, on en déduit que $\lim_{n\to+\infty}u_n=0$.

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