Il y a quelque temps, j'ai écrit un cours d'algèbre linéaire pour un projet de classe inversée dans une école d'ingénieur. J'ai décidé de le partager avec celles et ceux qui me soutiennent sur Tipeee. Ce sera aussi pour moi un ballon d'essai de ce que je suis capable de faire en matière en cours en ligne.
Pour accéder au cours, je ne demande qu'un don minimal de 1€ (mais vous pouvez donner plus si vous le voulez !). Cependant je suis conscient que pour certain.e.s, même un euro est un effort important. Pour celles.eux là, voici quelques éléments qui vous permettront de voir si ce cours vous sera utile.
Ce cours a été construit en fonction du calendrier et des besoins propres d'une école d'ingénieur, il ne couvrira donc pas forcément l'intégralité du programme que vous pourriez suivre, et ne suivra pas forcément votre propre calendrier. Il ne doit donc pas être utilisé comme substitut à votre propre cours ! Par contre, il pourra être utilisé avantageusement comme :
Pour le moment seule une partie des vidéos est disponible, les chapitres actuellement en lignes sont :
Pour accéder aux vidéos, rendez-vous sur ma page Tipeee : https://fr.tipeee.com/math-sup-fr, faites un don et rendez-vous dans les "News" où un lien vous sera communiqué.
Bon visionnage !!
Lorsque j'ai découvert la formule du changement de variable intégrale j'étais au lycée (à l'époque elle était enseignée en terminale S). Cette formule fut une sorte d'explosion d'incompréhension. D'abord je ne voyais pas en quoi la formule exprimait le fait de faire un changement de variable au sein d'une intégrale. $$\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)dx$$
Ensuite, en regardant la démonstration, rien ne semblait m'aider à comprendre d'avantage. Je n'y voyais qu'une astuce technique faisant intervenir la dérivée d'une composée de deux fonctions. Aucun lien avec le fait de changer de variable. $$\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\left[F(\varphi(t))\right]_a^b=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)dx.$$
Mais le pire de tout fut le passage aux applications. Les changements de variables y apparaissaient de manière explicite, certes , mais entourés d'une sorte de "n'importe quoi formel" : confusion entre variable et fonction, utilisation de la notation $\frac{df}{dt}$ comme d'une véritable fraction (qu'elle n'est pas!), vérification des hypothèses parcellaire, aucune identification entre les formules du théorème et les applications. Tout ceci en totale contradiction avec les injonctions de rigueur que l'on nous demandait en mathématiques. À ceci s'ajoutait la panoplie des changements de variables magiques introduit avec la fameuse phrase "on pensera à faire le changement de variable suivant..." mais dont on se demande bien comment justement on aurait pu "penser à" faire un truc pareil... Et pour couronner le tout des enseignants nous avertissant qu'il était préférable de ne pas faire figurer le raisonnement sur un copie pour ne pas être sanctionné par un correcteur hargneux...
Au lycée je me suis résigné à oublier le théorème, à appliquer sans réfléchir une méthode et à espérer que l'on ne me demande pas de trouver un changement de variable par moi-même. Ce qui allait en contradiction avec les injonctions des enseignants : "vous devez apprendre votre cours", "vous devez comprendre votre cours", " vous ne devez pas faire d'impasse".
C'est en me souvenant de l'élève que j'étais que j'ai construit cette vidéo sur le changement de variable intégrale. J'essaye de montrer comment la formule du changement de variable intégrale peut effectivement être déduite de la volonté de faire un changement de variable dans une intégrale. C'est bête à dire, mais pas si simple à faire... Et puis j'essaye également de donner du sens aux bidouillages que l'on effectue dans les applications en donnant le choix : les considérer effectivement comme de purs bidouillages, sortes de moyens mnémotechniques, ou bien admettre qu'il est possible de leur donner un sens rigoureux (avec la notion de formes différentielles) mais qu'il est trop tôt pour être abordé en première année.
Bon visionnage!
Voici quelques temps j'ai réalisé une vidéo sur "VECT dans le cas d'une famille infinie de vecteurs". Dans la première version de cette vidéo j'y ai affirmé à tort que cette notion avait disparue des programmes officiels (elle est toujours présente au moins dans le programme de MPSI). Je m'en suis voulu immédiatement car je ne voulais pas qu'un étudiant peu regardant décide d'écarter une notion du programme à cause de ma négligence. Mais autre chose de plus important m'a gêné encore.
Très vite sont apparus des commentaires réactionnaires (au sens littéral du terme c'est à dire la volonté de retour à un ordre ancien) du genre "ha ma bonne dame tout fout le camp, c'était mieux avant, etc...". Que ceux qui ont écrit ceci n'y voient pas de mépris de ma part, car moi aussi il m'arrive de regretter parfois un temps perdu. Cependant dans le cadre des mathématiques, j'ai de forts doutes quand à l'existence d'un paradis perdu!
Il est indéniable que les exigences en terme de connaissances ne cessent de diminuer dans le secondaire. On a vu disparaître les équations différentielles, la notion d'intégration par parties, bon nombres d'éléments de géométrie élémentaire, la dérivation de fonctions composées et j'en passe. Par conséquent cela rend la tâche ardue pour les enseignants du supérieurs qui doivent prendre en compte le niveau des étudiants et les porter à un niveau (quoiqu'en disent certains) très élevés au bout de seulement deux ans d'études. Pourtant se focaliser sur les compétences des étudiants entrant, c'est regarder par le petit bout de la lorgnette car le problème est bien plus grave que cela.
Si on se réfère à l'étude de 2006 de Bernard Zarca (Revue sociétés contemporaines, 2006), la profession de mathématicien est une profession masculine et hautement élitaire. On y apprend l'influence considérable de l'origine sociale sur le métier. Donnons un seul chiffre : 43% des mathématiciens ont un de leur parent qui est enseignant ou chercheur. Bien sûr on pourra me dire qu'il est logique qu'il y ait une plus grande probabilité qu'un enfant de boulanger devienne boulanger, alors pourquoi pas un chercheur. Or, contrairement au savoir-faire boulanger, l'enseignement des mathématiques est très étendus dans le temps (maternelle, primaire, secondaire) et dans l'"espace" des disciplines. Les mathématiques étant enseignées aussi largement, pourquoi alors un tel niveau d'endogamie?
Citons ce témoignage de Michèle Vergne (toujours issu de l'étude Zarca) qui résume bien le type d'expériences que peuvent vivre ceux qui ne sont pas des "insider" :
Comme en général, comme c’était la mode, les professeurs passaient très vite sur les détails fastidieux des démonstrations et que moi, je ne voyais pas à quels objets connus, classiques, elles renvoyaient, je ne pouvais pas rétablir les jalons qui manquaient… : “Par un raisonnement standard, on prouve que…”, et je me sentais réduite à l’infériorité totale de ne pas pouvoir deviner quel était ce raisonnement standard. Je pense que quand les professeurs ne font pas un effort pour expliquer d’où viennent leurs idées, leur intuition, (car maintenant, je ne crois plus que dès le berceau, les hommes étaient prédestinés à savoir, comme moi à ignorer) eh bien, ils pratiquent, délibérément ou non, une attitude raciste et sexiste à l’égard des catégories qui n’ont pas baigné toute leur vie dans la culture mathématique et qui n’ont aucun autre moyen de savoir, hors de l’enseignement, d’où viennent les idées en cours.
Ce témoignage date des années 70!! Et bon nombre d'étudiants je pense, s'y reconnaîtront encore 40 ans après... Comment alors défendre la thèse du "c'était mieux avant"? Et pourtant c'est bien ce type d'analyses que semblent affectionner la communauté mathématique. Une preuve? Consultez les débats du site Images des Mathématiques (qui par ailleurs est un excellent site de vulgarisation que je vous recommande!) :
Qu'on ne se méprenne pas. Non je ne croit pas que réduire les programmes soient une solution pour aider à accéder aux études scientifiques, bien au contraire. Mais focaliser le débat en permanence sur les contenus et la comparaison des contenus dans le temps, n'aidera pas à soulever ce qui fait défaut dans la transmission des connaissances mathématiques post-BAC.
Voici en quelques mots la raison pour laquelle je me suis empressé de reprendre ma vidéo pour ne pas participer à ce détournement du problème principal qu'est le manque d'effort consacré à la pédagogie mathématiques post-BAC.
Voilà pres d'un an et demi que je réalise des vidéos sur Youtube. Je voulais remercier les presque 3700 abonnés qui me suivent, ainsi que les nombreuses personnes qui m'encouragent régulièrement à poursuivre. Cela me fait chaud au coeur et m'incite à continuer à creuser cette approche de transmission des mathématiques.
Comme bon nombre de Youtubeur, j'ai décidé de créer une page Tipeee.com. Pour ceux qui ne connaîtraient pas, Tipeee est un site de financement participatif. Il donne la possibilité à celles et ceux qui le souhaitent de financer des créateurs de contenus sur le web. Vous en connaissez peut-être déjà un certain nombre de ces Youtubeur en sciences, tels que e-penser, Science Etonnante ou MicMaths. Vous aurez ainsi la possibilité de faire un don (même tout petit!) pour soutenir ma démarche.
A quoi va me servir ces dons? D'une part, il faudrait que j'investisse dans du matériel. Pour le moment je fonctionne avec une webcam et un micro de qualité médiocre : vous êtes d'ailleurs plusieurs à m'avoir fait la remarque, même si il y a eu un mieux depuis les premières vidéos! D'autre part je cherche un moyen de rendre cette activité viable. Pour le moment je suis père au foyer et, au même titre que Youtubeur, cette activité ne me donne droit à aucune rénumération!
Il faut aussi savoir que je tiens absolument à ce que mes vidéos restent d'accès gratuit. J'espère que les dons de Tipeee me permettront de tenir cette ligne.
Donc si vous voulez me soutenir, n'hésitez pas à vous rendre sur ma page Tipeee :
Je suis en train de faire des recherches en didactiques mathématiques pour savoir si mon approche des mathématiques s'inscrit dans une démarche déjà étudiée. Autant vous le dire, j'ai du mal à trouver des contenus sur l'enseignement post-BAC... Mais ce n'est pas de cela que je souhaitait vous parler.
En farfouillant donc, je suis tombé sur de nombreuses vidéos quelque peu navrantes sur "comment réussir en maths" et autres variantes qui nous renseigne plus sur la façon d'être un élève modèle ou la meilleur façon de bachoter, plutôt que d'apprendre les mathématiques. Mais je suis aussi tombé par hasard sur une perle, une vidéo de Stanislas Dehaene, professeur de collège de France en psychologie cognitive comportementale qui expose les grands principes de l'apprentissage.
Si vous êtes enseignant mais aussi étudiant, je vous invite grandement à regarder cette vidéo qui nous renseigne en résumé sur quelques notions du "comment on apprend" et "comment on peut faire apprendre".
J'ai découvert en rentrant de vacances un mouvement créé par un groupe de Youtubeur en réaction au projet de loi sur le code du travail. Ce mouvement s'appelle #OnVautMieuxQueCa et je vous incite à regarder leur vidéo :
<
Outre le fait que ce mouvement fasse écho à mon expérience d'enseignant précaire en école d'ingénieurs, il me semble d'une très grande importance aussi bien sur la forme que sur le fond.
Je ne vais pas faire ici une n-ième analyse du projet de loi, ni vous faire un résumé de la situation. D'autres l'ont fait mieux que moi (par exemple Loi Travail : pourquoi il faut agir). Je veux surtout insister sur l'importance de ce mouvement.
En rassemblant des témoignages de toutes sortes, le mouvement montre que la situation du salariat (mais aussi du petit patronat pour certains témoignages) est déjà critique et que la loi ne ferait que fragiliser encore plus les salariés. Le pouvoir est alors directement confronté au réel. Plus d'intermédiaires tels que les syndicats, les partis, les journalistes qui façonnent les témoignages en fonctions de leurs intérêts propres. C'est le peuple qui s'adresse directement au pouvoir.
Si vous vous informez uniquement avec la télévision ou la presse, vous aurez du mal à trouver des contenus qui remettent en cause directement la valeur "argent" et tout ce qui en découle : travail, économie libérale, consommation... La raison en est très simple, ces médias vivent uniquement de la publicité. La remettre en cause serait se tirer une balle dans le pied!
Au contraire, certains Youtubeurs (pas tous!) tentent de remettre en cause cette idéologie dominante. Le fait que le contenu ne soit pas contraint par le diffuseur entraîne par conséquent une meilleure diffusion des idées.
On peut ainsi espérer que l'idéologie dominante qui s'est imposée par l'absence de possibilité de s'exprimer soit ébranlée par ce nouveau mode d'action.
Dans une démocratie le pouvoir doit émaner du peuple. Or nos dirigeant, mus par des intérêts électoraux, se basent sur l'opinion (c'est à dire l'avis sur tel ou tel sujet) plutôt que sur l'expression d'un besoin. Pour faire simple, quand le peuple a faim, les dirigeants demandent si ils préfèrent le sel ou le poivre... ce qui élude le problème initial : trouver à manger!
L'expression libre sur Youtube change la donne. On peut enfin dire ce qui ne va pas, ce qu'on voudrait, ce qu'on fait, ce qu'on pourrait faire.
Bon voilà, j'ai écrit ce billet pour convaincre les pessimistes que cette fois-ci ça peut vraiment bouger, que certaines peuvent commencer (je dis bien commencer!) à changer.
Mais tout ceci ne vaudra rien si on ne se bouge pas aussi "à l'ancienne"!
Alors rendez-vous tous à la manif du 9 mars!
Je viens de créer un compte facebook sur lequel je vais mettre l'ensemble de mes activités, en particulier la création de vidéos.
N'hésitez pas à vous y inscrire!
Je crois profondément qu'un individu qui vit dignement ne devient pas un terroriste. Quand on a de quoi se nourrir et se loger sans devoir mendier, quand on a un travail sans asservissement, quand on dispose de temps pour se cultiver, s'amuser, passer du temps en famille, quand on est en sécurité chez soi et dans la rue, quand on a tout ça, on ne peut que constater l'évidence : demain il fera encore beau, il y aura encore tant de belles choses à vivre pour soi, avec sa famille, avec ses amis, que l'on croit en dieu ou pas, il n'y a aucune raison de se faire exploser dans la rue!
Mais le réel est tout autre. Combien ont tant de mal à se loger et se nourrir, combien à trouver un travail, combien souffrent au travail et du salaire de misère, combien troquent leur vie de famille pour avoir une bonne paye, combien ont peur en descendant dans la rue, combien ne voient pas d'avenir pour leurs enfants. Alors on nous dit "indignez-vous!" : déjà fait; on nous incite à descendre dans la rue : déjà fait. Alors de manière cynique on nous dit qu"on a toute la vie", la belle jambe! Le réel aujourd'hui crée la colère, la violence et parfois la violence extrême. On aura beau agiter les valeurs de la républiques, inventer des slogans optimistes, brailler des injonctions de se bouger, le réel lui est bien là et les idéalités n'y changeront rien.
La vérité c'est que notre génération, la génération Y comme on dit, n'a pas la possibilité d'agir en profondeur sur le réel. On est tellement conscient de ce fait qu'un mouvement, le mouvement Colibri, s'est créé, avec pour principe : agir à toute petite échelle puisqu'on ne peut pas faire mieux...
Mais alors quel sens donner à notre génération? Doit-on se laisser qualifier de "presses-boutons", de génération "qui fout rien derrière un écran", de génération "sacrifiée"?
Non! Je crois sincèrement que notre génération aura un sens, un sens inattendu de la part de ceux qui nous donnent des leçons. Notre génération sera celle qui va transmettre, celle qui va sortir de l'ignorance les individus, celle qui va émanciper les générations à venir de ce qui provoque le malheur aujourd'hui.
Notre génération sera celle de la résistance. Pas la résistance de 39-45 face à la guerre, pas la résistance violente de 68, pas la résistance pacifique qui se fait piétiner. Non, notre résistance sera une RESISTANCE POSITIVE. Une résistance qui tient compte du réel, expérimentale, ouverte et libre.
J'ai commencé à résister ici avec ce site, pour lutter cotre l'élitisme, le déterminisme social et l'oligarchie. Et vous?
Vous êtes en sup, L1 ou école d'ingénieur? La Décomposition en éléments simples vous donne des boutons? math-sup.fr va vous donner un coup de main. Vous trouverez dans la section "cours" un MOOC sur la décomposition en éléments simples.
Au programme, explication des théorèmes dans $\mathbb C$ puis dans $\mathbb R$. Une première initiation à la méthode d'identification, puis une introduction aux méthodes élémentaires de base pour faire vos premiers calculs sans souffrir. Tout ceci agrémenté d'exercices adaptés.
Bonne lecture!
Je viens de finaliser mon MOOC sur les sommes pour ECS dans les concours. Rendez-vous ici. J'y aborde les sommes classiques, le maniement des sommes simples (linéarité et changement d'indice) puis je traite des sommes doubles. Le tout suivi d'exercices issus directement des concours pour vous faire une idée de ce qui tombe.
En préparation : un MOOC sur le dénombrement. Vous pouvez jeter un coup sur l'avancement sur la playlist : Dénombrement.
Un premier jeu de trois vidéo vient d'être finalisé pour les récurrences. J'y aborde bien sûr le principe de récurrence en lui même puis les récurrences multiples (double, triples, ...) et la récurrence forte. Vous pouvez les visionner sur ma playlist Youtube : Récurrences.
J'ai également fini un premier chapitre de MOOC : Récurrences pour ECS dans les concours. Vous aurez alors un tour d'horizon des exercices posés aux concours de 2009 à 2014 comportant des récurrences. Rendez-vous ici.
Je prépare actuellement un chapitre sur la manipulation des sommes. Je vous tiendrai au courant. Si vous avez des suggestion de vidéo à créer, n'hésitez pas à me les faire parvenir à frederic.millet @ math-sup.fr.
Math-sup.fr se lance dans les MOOC!! Vous pourrez admirer un magnifique premier jet sur le thème des récurrences en ECS, agrémenté d'exercices issus tout droit des concours pour vous entraîner. Ceci se situera pour le moment dans la rubrique cours du site. Bonne lecture!
Le corrigé d'ESSEC 2014 est enfin disponible. Comme l'an dernier, le sujet est très difficile. Pour bien aborder ce sujet, il était préférable d'avoir vu les matrices de rotations et en particulier leur diagonalisation dans $M_n(\mathbb C)$. Or par mon expérience d'enseignant en cours particulier, je sais que ce point est rarement abordé par les professeurs de prépa.
Il faudrait faire une analyse détaillée des sujets au fil des ans que je n'ai pas le temps de faire. Mais mon sentiment est qu'il y a un glissement élitiste manifeste des sujets de concours ESSEC en math, qui laisse de moins en moins ses chances aux étudiants issus de "petites prépas".
Je viens de finir de corriger le sujet d'HEC math II. Le sujet est très délicat car bourré de difficultés techniques et demandant pas mal d'esprit de synthèse. Il laissera certainement aux yeux des étudiant soit le goût d'un sujet affreux, soit une impression de simplicité. Si vous êtes dans le second cas, c'est que beaucoup de choses ont échappé à votre vigilance!
Le corrigé HEC 2014 math I est enfin disponible en ligne. Cette année le sujet était particulièrement accessible. On notera que la partie II est largement faisable par un première année, si ceux ci veulent s'y essayer pour voir!
C'est avec beaucoup de retard que je reprend la correction des sujets ECS. Le corrigé rapide de HEC 2013 math I est enfin disponible. Dans la partie I on trouvera une étude des exponentielles de matrices, thème essentiel à avoir abordé au moins une fois avant les concours. Dans la partie II on trouvera une démonstration que toute matrice admet une valeur propre dans $\mathbb C$ (résultat admis dans le programme) ainsi qu'un traitement de l'existence de polynômes annulateurs. Enfin la partie III permet de tester les candidats sur leur capacité à assimiler des objets nouveaux : ici l'intégration vectorielle.
Je commence ma tournée de corrigés d'ECS 2013! Le corrigé du sujet ECRICOME 2013 est enfin disponible :
L'exercice 1 en aura probablement dérouté plus d'un, laissant très peu de place à l'improvisation en algèbre. A noter, un joli problème portant sur la discrétisation de lois continues et la "continuation" de lois discrètes- je ne sais comment le dire autrement, je vous laisse faire le sujet pour le découvrir!!
Je viens de créer un nouveau lien dans lequel je vais rassembler un certain nombre de cours que j'ai pu donner.
Pour le moment il est certes un peu vide, mais il va se remplir au fur et à mesure du ménage que je vais faire dans mes fichiers.
Pour son inauguration, j'ai mis à plat mes notes concernant la décomposition LU. Si vous faîtes quelques recherches sur internet, vous verrez que : soit on vous montre l'algorithme sans vous expliquez pourquoi ça marche, soit on vous bombarde de théorèmes préliminaires sur les matrices d'éliminations qui finissent par vous désespérer d'arriver au résultat. Mes notes ont donc pour but de permettre au lecteur de prendre quelques chemins de traverses et comprendre plus vite ce qui se passe.
En vous souhaitant bonne lecture!
Pour finir avec la saison 2012 des voies S, le sujet 2 de HEC 2012 est enfin corrigé à l'exception de la question 11.c) sur laquelle j'avoue humblement sêcher...
Le sujet expose des techniques d'estimations statistiques pour la régression linéaire. Techniques très importante pour effectuer des prévisions statistiques à partir d'une suite de données supposées liées linéairement.
Les parties I et II sont relativement abordable à condition de savoir gérer proprement ses calculs. Par contre la partie III est beaucoup plus difficile. Il est dommage que ce sujet d'introduction aux statistiques n'offre pas un modèle sur lequel l'appliquer pour se rendre compte de sa pertinence.
En faisant le bilan, cette année 2012 aura été particulièrement sélective en mathématiques. Les candidats qui auront souffert sur ces sujets n'auront pas démérité!
Un corrigé du sujet ESSEC 2012 ECS est disponible en ligne. Cette année l'ESSEC a souhaitée se doter d'une promotion brillante de mathématiciens. Le sujet est très théorique et d'un niveau élevé. Aucune faille sur la compréhension mathématiques n'est possible.
Le sujet HEC 2012 voie S corrigé est enfin disponible. Ce sujet comporte pas mal de difficultés rédactionnelles sur lesquelles il faut être au point pour ne pas perdre de temps (beaucoup de justifications de convergence d'intégrales et de séries). A noter également que le sujet aborde la concavité et l'optimisation avec contrainte, des thèmes souvent négligés par les étudiants qui ont dû en faire souffrir plus d'un!
Autour du sujet : Le sujet aborde la notion d'entropie dans divers contextes. Il est à regretter que la partie IV n'exploite pas vraiment cette notion. L'entropie a été introduite pour la première fois par Ludwig Boltzmann dans sa théorie de la physique statistique. Elle permet de mesurer le désordre d'un système. Cela lui a permis par la suite de définir proprement la notion de température de façon théorique sans faire appel à un système physique intermédiaire (un thermomètre à mercure par exemple). L'idée d'entropie a été reprise plus tard par Shannon dans sa théorie de l'information. Il a définit une entropie qui permet de mesurer la quantité d'information contenue dans un texte. Ainsi la mesure de l'entropie permet d'évaluer le taux de compression d'un texte en vue de réduire sa taille. Aujourd'hui l'entropie reste un outil puissant pour mesurer la complexité de systèmes tels que les flux boursiers, le mouvement des planète ou encore les échanges de données sur internet.
Contacter l'auteur du site : frederic.millet @ math-sup.fr
